波长为600nm的单色光正入射到一透射平面光栅上,有两个相邻的主极大分别出现在sin1=0.2和sin2=0.3处,且第4级缺级。试求:(1) 光栅常数;(2) 光栅上缝的最小宽度;(3) 确定了光栅常数和缝宽之后,试求在观察屏上呈现的主极大的全部级数。

考查要点：本题综合考查光栅衍射的光栅方程、缺级条件及主极大级数的计算。

解题核心思路：

1. 光栅方程：主极大条件为 $d\sin\theta = k\lambda$，利用相邻主极大的 $\sin\theta$ 差值求光栅常数 $d$。
2. 缺级条件：缺级发生时 $d/a = m$（$m$ 为缺级级数），由此求缝宽 $a$。
3. 主极大级数范围：结合光栅常数和波长，计算最大可能级数，再排除缺级对应的级数。

破题关键点：

• 相邻主极大的级数差：相邻主极大对应 $k$ 和 $k+1$，通过 $\sin\theta_2 - \sin\theta_1$ 直接求 $d$。
• 缺级的级数规律：缺级级数为 $k = \pm m, \pm 2m, \dots$，需排除这些级数。

(1) 光栅常数 $d$

光栅方程：
主极大条件为 $d\sin\theta = k\lambda$，其中 $k$ 为整数。
相邻主极大对应 $k$ 和 $k+1$，分别有：
$\begin{cases}d\sin\theta_1 = k\lambda \\d\sin\theta_2 = (k+1)\lambda\end{cases}$
两式相减得：
$d(\sin\theta_2 - \sin\theta_1) = \lambda$
代入 $\sin\theta_1 = 0.2$，$\sin\theta_2 = 0.3$，$\lambda = 600\ \text{nm}$：
$d = \frac{\lambda}{\sin\theta_2 - \sin\theta_1} = \frac{600\ \text{nm}}{0.3 - 0.2} = 6000\ \text{nm} = 6\ \mu\text{m} = 6 \times 10^{-3}\ \text{mm}$

(2) 缝的最小宽度 $a$

缺级条件：
第4级缺级，说明 $k=4$ 时无主极大。根据缺级公式 $d/a = m$（$m$ 为缺级级数），得：
$a = \frac{d}{m} = \frac{6\ \mu\text{m}}{4} = 1.5\ \mu\text{m} = 1.5 \times 10^{-3}\ \text{mm}$

(3) 主极大的全部级数

最大可能级数：
由 $d\sin\theta \leq d$（$\sin\theta \leq 1$），得最大级数：
$k_{\text{max}} = \frac{d}{\lambda} = \frac{6000\ \text{nm}}{600\ \text{nm}} = 10$
排除缺级级数：
缺级发生于 $k = \pm 4, \pm 8$，因此保留的级数为：
$k = 0, \pm1, \pm2, \pm3, \pm5, \pm6, \pm7, \pm9, \pm10$
若题目仅考虑正级数，则为：
$k = 0, 1, 2, 3, 5, 6, 7, 9, 10$