题目

计算下列粒子的德布罗意波长，并说明所得结果的物理意义。(a) 具有200eV动能的电子；(b) 具有10^5eV能量的光子；(c) 以1mcdot s^-1速度运动的小球，(质量为0.3kg)；(d) 相应于波尔轨道n=1和n=100的电子。

计算下列粒子的德布罗意波长，并说明所得结果的物理意义。 (a) 具有$200eV$动能的电子； (b) 具有$10^5eV$能量的光子； (c) 以$1m\cdot s^{-1}$速度运动的小球，(质量为$0.3kg$)； (d) 相应于波尔轨道$n=1$和$n=100$的电子。

题目解答

答案

(a) 电子动能 $K = 200 \, \text{eV}$，$p = \sqrt{2mK} \approx 7.64 \times 10^{-24} \, \text{kg·m/s}$，$\lambda = \frac{h}{p} \approx 0.0867 \, \text{nm}$。 (b) 光子能量 $E = 10^5 \, \text{eV}$，$\lambda = \frac{hc}{E} \approx 0.0124 \, \text{nm}$。 (c) 小球 $m = 0.3 \, \text{kg}$，$v = 1 \, \text{m/s}$，$\lambda = \frac{h}{mv} \approx 2.21 \times 10^{-33} \, \text{m}$。 (d) 波尔轨道 $n=1$：$\lambda_1 = 2\pi a_0 \approx 0.332 \, \text{nm}$；$n=100$：$\lambda_{100} = 2\pi \times 100 a_0 \approx 33.2 \, \text{nm}$。 最终结果： (a) $\lambda \approx 0.0867 \, \text{nm}$ (b) $\lambda \approx 0.0124 \, \text{nm}$ (c) $\lambda \approx 2.21 \times 10^{-33} \, \text{m}$ (d) $\lambda_1 \approx 0.332 \, \text{nm}$，$\lambda_{100} \approx 33.2 \, \text{nm}$

解析

本题考查德布罗意波长的计算以及所得结果的物理意义。解题思路是根据不同粒子的特点，运用相应的公式计算德布罗意波长。

(a) 具有$200eV$动能的电子

  1. 首先将电子动能的单位从$eV$换算为$J$，根据$1eV = 1.6\times10^{-19}J$，可得$K = 200\times1.6\times10^{-19}J = 3.2\times10^{-17}J$。
  2. 然后根据动量与动能的关系$p = \sqrt{2mK}$，其中电子质量$m = 9.11\times10^{-31}kg$，可得$p = \sqrt{2\times9.11\times10^{-31}\times3.2\times10^{-17}}kg\cdot m/s \approx 7.64\times10^{-24}kg\cdot m/s$。
  3. 最后根据德布罗意波长公式$\lambda = \frac{h}{p}$，其中普朗克常量$h = 6.63\times10^{-34}J\cdot s$，可得$\lambda = \frac{6.63\times10^{-34}}{7.64\times10^{-24}}m \approx 0.0867\times10^{-9}m = 0.0867nm$。

(b) 具有$10^5eV$能量的光子

  1. 同样先将光子能量的单位从$eV$换算为$J$，可得$E = 10^5\times1.6\times10^{-19}J = 1.6\times10^{-14}J$。
  2. 然后根据德布罗意波长公式$\lambda = \frac{hc}{E}$，其中$c = 3\times10^{8}m/s$，可得$\lambda = \frac{6.63\times10^{-34}\times3\times10^{8}}{1.6\times10^{-14}}m \approx 0.0124\times10^{-9}m = 0.0124nm$。

(c) 以$1m\cdot s^{-1}$速度运动的小球

  1. 已知小球质量$m = 0.3kg$，速度$v = 1m/s$。
  2. 根据德布罗意波长公式$\lambda = \frac{h}{mv}$，其中$h = 6.63\times10^{-34}J\cdot s$，可得$\lambda = \frac{6.63\times10^{-34}}{0.3\times1}m \approx 2.21\times10^{-33}m$。

(d) 相应于波尔轨道$n = 1$和$n = 100$的电子

  1. 对于波尔轨道$n = 1$的电子，根据玻尔半径公式$a_0 = 0.529\times10^{-10}m$，可得$\lambda_1 = 2\pi a_0 = 2\pi\times0.529\times10^{-10}m \approx 0.332\times10^{-9}m = 0.332nm$。
  2. 对于波尔轨道$n = 100$的电子，可得$\lambda_{100} = 2\pi\times100a_0 = 2\pi\times100\times0.529\times10^{-10}m \approx 33.2\times10^{-9}m = 33.2nm$。

所得结果的物理意义

德布罗意波长反映了粒子的波动性。电子的德布罗意波长与原子尺度相关，说明电子在原子范围内具有波动性；光子的德布罗意波长也与原子尺度相关，说明光子在原子范围内也具有波动性；小球的德布罗意波长非常小，说明小球的波动性不明显；波尔轨道电子的德布罗意波长与原子尺度相关，说明电子在原子范围内具有波动性。