4．一平面衍射光栅宽 2 cm，共有 8000 条缝，用钠黄光(589.3 nm)垂直入射，试求出可能出现的各个主极大对应的衍射角．(1nm=109m)

考查要点：本题主要考查光栅衍射中主极大的计算，涉及光栅公式及其应用，以及对主极大条件的理解。

解题核心思路：

1. 确定光栅常数：根据光栅宽度和缝的数量，计算相邻缝中心间距 $(a + b)$。
2. 应用光栅公式：利用公式 $(a + b)\sin\theta = k\lambda$，结合主极大条件 $k$ 为整数，求出可能的 $\sin\theta$ 值。
3. 筛选有效解：确保 $\sin\theta$ 的绝对值不超过 $1$，确定 $k$ 的有效取值范围。
4. 计算对应角度：对每个有效 $k$，计算 $\theta$ 的具体值。

破题关键点：

• 光栅常数的计算：总宽度除以缝的数量。
• 主极大条件：$k$ 必须为整数，且 $\sin\theta$ 必须在有效范围内。

1. 计算光栅常数 $(a + b)$

光栅总宽度为 $2\ \text{cm} = 0.02\ \text{m}$，缝的数量为 $8000$ 条，则：
$a + b = \frac{0.02}{8000} = 2.5 \times 10^{-6}\ \text{m} = 2500\ \text{nm}.$

2. 代入光栅公式

光栅公式为：
$(a + b)\sin\theta = k\lambda.$
将 $\lambda = 589.3\ \text{nm}$ 和 $a + b = 2500\ \text{nm}$ 代入，得：
$\sin\theta = \frac{k \cdot 589.3}{2500} = 0.2357k.$

3. 确定 $k$ 的有效取值

要求 $|\sin\theta| \leq 1$，即：
$|0.2357k| \leq 1 \implies |k| \leq \frac{1}{0.2357} \approx 4.24.$
因此，$k$ 的有效整数取值为 $k = 0, \pm1, \pm2, \pm3, \pm4$。

4. 计算对应角度 $\theta$

• $k = 0$：$\sin\theta = 0 \implies \theta = 0^\circ$。
• $k = \pm1$：$\sin\theta = \pm0.2357 \implies \theta = \pm13.6^\circ$。
• $k = \pm2$：$\sin\theta = \pm0.4714 \implies \theta = \pm28.1^\circ$。
• $k = \pm3$：$\sin\theta = \pm0.7071 \implies \theta = \pm45.0^\circ$。
• $k = \pm4$：$\sin\theta = \pm0.9428 \implies \theta = \pm70.5^\circ$。