() 设X1,X2,···,Xn是来自概率密度为-|||-(x;theta )= ) theta (x)^theta -1, 0lt xlt 1 0, 的最大似然估计值.

考查要点：本题主要考查最大似然估计的应用，涉及参数估计的求解步骤，以及如何将估计结果代入目标函数。

解题核心思路：

1. 写出似然函数：根据给定的概率密度函数，构造样本的联合概率密度（似然函数）。
2. 取对数并求导：通过对数似然函数求导，找到导数为零的点，确定参数θ的最大似然估计值。
3. 代入目标函数：将估计出的θ代入目标函数$U = e^{-1/\theta}$，得到U的最大似然估计值。

破题关键点：

• 正确处理对数似然函数的导数，注意样本数据中$x_i \in (0,1)$导致$\ln x_i$为负数，需确保θ的估计值为正数。
• 代数运算的符号处理，避免因符号错误导致最终结果偏差。

1. 构造似然函数

样本$X_1, X_2, \dots, X_n$的似然函数为：
$L(\theta) = \prod_{i=1}^{n} \theta x_i^{\theta - 1} = \theta^n \left( \prod_{i=1}^{n} x_i \right)^{\theta - 1}$

2. 对数似然函数

取自然对数得：
$\ln L(\theta) = n \ln \theta + (\theta - 1) \sum_{i=1}^{n} \ln x_i$

3. 求导并解方程

对θ求导并令导数为零：
$\frac{d}{d\theta} \ln L(\theta) = \frac{n}{\theta} + \sum_{i=1}^{n} \ln x_i = 0$
解得：
$\hat{\theta} = -\frac{n}{\sum_{i=1}^{n} \ln x_i}$

4. 代入目标函数

将$\hat{\theta}$代入$U = e^{-1/\theta}$：
$\hat{U} = e^{-1/\hat{\theta}} = e^{-1 \big/ \left( -\frac{n}{\sum_{i=1}^{n} \ln x_i} \right)} = e^{\frac{\sum_{i=1}^{n} \ln x_i}{n}}$