题目
一物体悬挂在弹簧下方作简谐振动,当这物块的位移等于振幅的一半时, 其动能是总能量的 (设平衡位置处势能为零). 当这物块在平衡位置时,弹簧的长度比原长长△ l , 这一振动系统的周期为 。
一物体悬挂在弹簧下方作简谐振动,当这物块的位移等于振幅的一半时, 其动能是总能量的 (设平衡位置处势能为零). 当这物块在平衡位置时,弹簧的长度比原长长△ l , 这一振动系统的周期为 。
题目解答
答案
3/4;
解析
步骤 1：确定简谐振动的总能量
在简谐振动中，总能量 \(E\) 是动能 \(K\) 和势能 \(U\) 之和。当物体在平衡位置时，势能为零，动能最大，此时总能量等于最大动能。设振幅为 \(A\)，质量为 \(m\)，角频率为 \(\omega\)，则总能量 \(E = \frac{1}{2}kA^2\)，其中 \(k\) 是弹簧的劲度系数。
步骤 2：计算位移等于振幅一半时的动能
当物体的位移等于振幅的一半时，即 \(x = \frac{A}{2}\)，此时的势能 \(U = \frac{1}{2}kx^2 = \frac{1}{2}k\left(\frac{A}{2}\right)^2 = \frac{1}{8}kA^2\)。由于总能量守恒，此时的动能 \(K = E - U = \frac{1}{2}kA^2 - \frac{1}{8}kA^2 = \frac{3}{8}kA^2\)。因此，动能是总能量的 \(\frac{3}{4}\)。
步骤 3：计算振动系统的周期
当物体在平衡位置时，弹簧的长度比原长长 \(\Delta l\)，根据胡克定律，此时的弹力 \(F = k\Delta l = mg\)，其中 \(g\) 是重力加速度。因此，劲度系数 \(k = \frac{mg}{\Delta l}\)。简谐振动的周期 \(T = 2\pi\sqrt{\frac{m}{k}} = 2\pi\sqrt{\frac{m}{\frac{mg}{\Delta l}}} = 2\pi\sqrt{\frac{\Delta l}{g}}\)。
在简谐振动中，总能量 \(E\) 是动能 \(K\) 和势能 \(U\) 之和。当物体在平衡位置时，势能为零，动能最大，此时总能量等于最大动能。设振幅为 \(A\)，质量为 \(m\)，角频率为 \(\omega\)，则总能量 \(E = \frac{1}{2}kA^2\)，其中 \(k\) 是弹簧的劲度系数。
步骤 2：计算位移等于振幅一半时的动能
当物体的位移等于振幅的一半时，即 \(x = \frac{A}{2}\)，此时的势能 \(U = \frac{1}{2}kx^2 = \frac{1}{2}k\left(\frac{A}{2}\right)^2 = \frac{1}{8}kA^2\)。由于总能量守恒，此时的动能 \(K = E - U = \frac{1}{2}kA^2 - \frac{1}{8}kA^2 = \frac{3}{8}kA^2\)。因此，动能是总能量的 \(\frac{3}{4}\)。
步骤 3：计算振动系统的周期
当物体在平衡位置时，弹簧的长度比原长长 \(\Delta l\)，根据胡克定律，此时的弹力 \(F = k\Delta l = mg\)，其中 \(g\) 是重力加速度。因此，劲度系数 \(k = \frac{mg}{\Delta l}\)。简谐振动的周期 \(T = 2\pi\sqrt{\frac{m}{k}} = 2\pi\sqrt{\frac{m}{\frac{mg}{\Delta l}}} = 2\pi\sqrt{\frac{\Delta l}{g}}\)。