题目
4.(1)设总体X具有分布律-|||-x 1 2 3-|||-pk θ^2 (1-0) (1-θ)^2-|||-其中 theta (0lt theta lt 1) 为未知参数.已知取得了样本值 _(1)=1 _(2)=2 _(3)=1. 试求θ的矩估-|||-计值和最大似然估计值.-|||-(2)设X1,X2,···,Nn是来自参数为λ的泊松分布总体的一个样本,试求λ-|||-的最大似然估计量及矩估计量.-|||-(3)设随机变量X服从以r,p为参数的负二项分布,其分布律为-|||-P(X=xk)= (} (x)_(k)-1 r-1=r, +1 ,...,-|||-其中r已知,p未知.设有样本值x1,x 2,···,xn,试求p的最大似然估计值.
题目解答
答案
解析
1. 矩估计与最大似然估计的核心思路
- 矩估计：通过样本矩（如样本均值）等于总体矩（如期望），解方程得到参数估计值。
- 最大似然估计：构造似然函数，取对数后求导，令导数为零，解方程得到参数估计值。
2. 各小题关键点
- (1) 总体分布为有限离散型，需计算期望并联立方程；似然函数为各样本点概率乘积。
- (2) 泊松分布的均值和方差均为$\lambda$，矩估计与MLE均与样本均值相关。
- (3) 负二项分布的MLE需处理组合数和对数求导，注意参数$r$已知。
第（1）题
矩估计
- 计算总体期望：
$E(X) = 1 \cdot \theta^2 + 2 \cdot 2\theta(1-\theta) + 3 \cdot (1-\theta)^2 = 3 - 2\theta.$ - 联立样本均值：
样本均值$\overline{x} = \frac{1}{3}(1+2+1) = \frac{4}{3}$，解方程$3 - 2\hat{\theta} = \frac{4}{3}$，得$\hat{\theta} = \frac{5}{6}$.
最大似然估计
- 构造似然函数：
$L(\theta) = \theta^2 \cdot 2\theta(1-\theta) \cdot \theta^2 = 2\theta^5(1-\theta).$ - 求导并解方程：
对$\ln L = \ln 2 + 5\ln\theta + \ln(1-\theta)$求导，得$\frac{5}{\theta} - \frac{1}{1-\theta} = 0$，解得$\hat{\theta} = \frac{5}{6}$.
第（2）题
最大似然估计
- 构造似然函数：
$L(\lambda) = \prod_{i=1}^n \frac{e^{-\lambda}\lambda^{x_i}}{x_i!}.$ - 求导并解方程：
对$\ln L = -n\lambda + \sum x_i \ln\lambda - \sum \ln x_i!$求导，得$\hat{\lambda} = \frac{1}{n}\sum x_i = \overline{X}$.
矩估计
泊松分布均值$\mu_1 = \lambda$，故矩估计量$\hat{\lambda} = \overline{X}$.
第（3）题
最大似然估计
- 构造似然函数：
$L(p) = \prod_{i=1}^n \binom{x_i-1}{r-1} p^r(1-p)^{x_i-r}.$ - 求导并解方程：
对$\ln L = \text{常数} + nr\ln p + \sum (x_i - r)\ln(1-p)$求导，得$\hat{p} = \frac{r}{\overline{X}}$.