真空中有一均匀带电球体和一均匀带电球面,如果它们的半径和所带的电量都相等,则它们的静电能之间的关系是:()A. 球体的静电能小于球面的静电能B. 无法比较C. 球体的静电能大于球面的静电能D. 球体的静电能等于球面的静电能

考查要点：本题主要考查静电能的计算，涉及电场分布、电势能与电容的关系，以及均匀带电球体与球面电场的差异。

解题核心思路：

1. 电场分布差异：均匀带电球体的电场在内部（$r < R$）非零，而均匀带电球面的内部电场为零。
2. 静电能公式：静电能 $W = \frac{1}{2} \int \rho \phi \, dV$ 或 $W = \frac{Q^2}{2C}$，其中电容 $C = \frac{Q}{V}$。
3. 关键比较点：球体内部存在电场，导致其总静电能更大。

破题关键：

• 内部电场贡献：球体的内部电场会使总能量增加，而球面内部无电场，能量仅来自外部。
• 电容与电势关系：球体的电势更高，导致电容更小，从而静电能更大。

步骤1：分析电场分布

• 均匀带电球体：
  • 内部电场 $E_{\text{内}} = \frac{kQr}{R^3}$（$r < R$）
  • 外部电场 $E_{\text{外}} = \frac{kQ}{r^2}$（$r \geq R$）
• 均匀带电球面：
  • 内部电场 $E_{\text{内}} = 0$（$r < R$）
  • 外部电场 $E_{\text{外}} = \frac{kQ}{r^2}$（$r \geq R$）

步骤2：计算静电能

静电能公式为：
$W = \frac{1}{2} \int \rho \phi \, dV = \frac{\epsilon_0}{2} \int E^2 \, dV$

• 球体的静电能：

  • 内部积分：
    $\int_0^R \frac{\epsilon_0}{2} \left( \frac{kQr}{R^3} \right)^2 4\pi r^2 \, dr = \frac{3kQ^2}{5R}$
  • 外部积分（与球面相同）：
    $\int_R^\infty \frac{\epsilon_0}{2} \left( \frac{kQ}{r^2} \right)^2 4\pi r^2 \, dr = \frac{kQ^2}{R}$
  • 总能量：
    $W_{\text{球体}} = \frac{3kQ^2}{5R} + \frac{kQ^2}{R} = \frac{8kQ^2}{5R}$

• 球面的静电能：

  • 内部积分为 $0$，外部积分与球体相同：
    $W_{\text{球面}} = \frac{kQ^2}{R}$

步骤3：比较结果

球体的总能量 $\frac{8kQ^2}{5R}$ 大于球面的 $\frac{kQ^2}{R}$，因此 球体的静电能更大。