3.宽度为a的薄金属板中通有电流I,电流沿薄板宽度方向均匀分布。求在薄板所在平面内距板的-|||-边缘为x的P点处的磁感应强度。-|||-x|-|||-a I-|||-图15.5

考查要点：本题主要考查无限长载流薄板的磁场计算，需要将板分解为无数细长电流元，利用叠加原理积分求解。

解题核心思路：

1. 电流分布分析：电流在板宽度方向均匀分布，线电流密度为 $\lambda = \frac{I}{a}$。
2. 电流元贡献：将板分割为宽度为 $dy$ 的细条，每个细条的电流为 $dI = \lambda dy$，其磁场按无限长直导线公式计算。
3. 积分叠加：对所有电流元的磁场进行积分，注意积分变量的正确替换。

破题关键点：

• 正确确定电流元到点P的距离：点P在板边缘外侧，距离为$x$，电流元到P的距离为 $r = a + x - y$（$y$为电流元的位置）。
• 积分上下限与变量替换：通过变量替换简化积分过程，最终结果需体现对数关系。

步骤1：建立电流元模型

将宽度为$a$的薄板沿宽度方向分割为无数细条，每个细条宽度为$dy$，位置坐标为$y$（$0 \leq y \leq a$）。每个细条的电流为：
$dI = \frac{I}{a} dy$

步骤2：计算单个电流元的磁场

每个细条在点P处的磁感应强度为：
$dB = \frac{\mu_0 dI}{2\pi r} = \frac{\mu_0}{2\pi} \cdot \frac{I}{a} \cdot \frac{dy}{a + x - y}$
其中，$r = a + x - y$ 是电流元到点P的距离。

步骤3：积分叠加总磁场

对所有电流元的磁场积分：
$B = \int dB = \frac{\mu_0 I}{2\pi a} \int_{0}^{a} \frac{dy}{a + x - y}$

步骤4：变量替换与积分计算

令 $u = a + x - y$，则 $dy = -du$，积分上下限变为：

• 当 $y = 0$，$u = a + x$；
• 当 $y = a$，$u = x$。

积分变为：
$\int_{a+x}^{x} \frac{-du}{u} = \int_{x}^{a+x} \frac{du}{u} = \ln\left(\frac{a+x}{x}\right)$

步骤5：最终结果

代入积分结果得：
$B = \frac{\mu_0 I}{2\pi a} \ln\left(\frac{a+x}{x}\right)$
磁场方向由右手螺旋定则判断为垂直纸面向外。