题目
沿着相反方向传播的两列相干波，其表达式为 y_1 = A cos [2pi (nu t - x / lambda)] 和 y_2 = A cos [2pi (nu t + x / lambda)]。叠加后形成的驻波中，波节的位置坐标为: 其中的 k = 0, 1, 2, 3, ldots。A. x = pm (2k + 1)lambda / 4B. x = pm k lambdaC. x = pm (1)/(2) (2k + 1)lambdaD. x = pm (1)/(2) k lambda
沿着相反方向传播的两列相干波，其表达式为 $y_1 = A \cos [2\pi (\nu t - x / \lambda)]$ 和 $y_2 = A \cos [2\pi (\nu t + x / \lambda)]$。叠加后形成的驻波中，波节的位置坐标为: 其中的 $k = 0, 1, 2, 3, \ldots$。
A. $x = \pm (2k + 1)\lambda / 4$
B. $x = \pm k \lambda$
C. $x = \pm \frac{1}{2} (2k + 1)\lambda$
D. $x = \pm \frac{1}{2} k \lambda$
题目解答
答案
A. $x = \pm (2k + 1)\lambda / 4$
解析
步骤 1：确定两列波的叠加形式
两列波的表达式分别为 $y_1 = A \cos [2\pi (\nu t - x / \lambda)]$ 和 $y_2 = A \cos [2\pi (\nu t + x / \lambda)]$。根据波的叠加原理，两列波叠加后的波形为 $y = y_1 + y_2$。
步骤 2：利用三角函数恒等式简化叠加后的波形
利用三角函数的和差化积公式，可以将叠加后的波形简化为 $y = 2A \cos (2\pi x / \lambda) \cos (2\pi \nu t)$。
步骤 3：确定波节的位置
波节是波形中振幅为零的位置，即 $y = 0$。因此，波节的位置满足 $2A \cos (2\pi x / \lambda) \cos (2\pi \nu t) = 0$。由于 $\cos (2\pi \nu t)$ 不恒为零，因此波节的位置由 $\cos (2\pi x / \lambda) = 0$ 决定。解得 $2\pi x / \lambda = (2k + 1)\pi / 2$，其中 $k = 0, 1, 2, 3, \ldots$。因此，波节的位置坐标为 $x = \pm (2k + 1)\lambda / 4$。
两列波的表达式分别为 $y_1 = A \cos [2\pi (\nu t - x / \lambda)]$ 和 $y_2 = A \cos [2\pi (\nu t + x / \lambda)]$。根据波的叠加原理，两列波叠加后的波形为 $y = y_1 + y_2$。
步骤 2：利用三角函数恒等式简化叠加后的波形
利用三角函数的和差化积公式，可以将叠加后的波形简化为 $y = 2A \cos (2\pi x / \lambda) \cos (2\pi \nu t)$。
步骤 3：确定波节的位置
波节是波形中振幅为零的位置，即 $y = 0$。因此，波节的位置满足 $2A \cos (2\pi x / \lambda) \cos (2\pi \nu t) = 0$。由于 $\cos (2\pi \nu t)$ 不恒为零，因此波节的位置由 $\cos (2\pi x / \lambda) = 0$ 决定。解得 $2\pi x / \lambda = (2k + 1)\pi / 2$，其中 $k = 0, 1, 2, 3, \ldots$。因此，波节的位置坐标为 $x = \pm (2k + 1)\lambda / 4$。