题目

质点沿半径为0.1(m)的圆周运动，其角位移theta与时间t的关系为：theta = 5 + 2t^3，当t=1(s)时，它的切向加速度大小为______(m/s)^2，法向加速度大小为______(m/s)^2。

质点沿半径为$0.1\text{m}$的圆周运动，其角位移$\theta$与时间$t$的关系为：$\theta = 5 + 2t^3$，当$t=1\text{s}$时，它的切向加速度大小为______$\text{m/s}^2$，法向加速度大小为______$\text{m/s}^2$。

题目解答

答案

根据题意，质点沿半径为 $R = 0.1\text{ m}$ 的圆周运动，其角位移 $\theta$ 与时间 $t$ 的关系为：
$\theta = 5 + 2t^3$

我们需要求出在 $t = 1\text{ s}$ 时的切向加速度大小和法向加速度大小。

1. 求角速度 $\omega$ 和角加速度 $\beta$

角速度 $\omega$ 是角位移 $\theta$ 对时间 $t$ 的一阶导数：
$\omega = \frac{d\theta}{dt} = \frac{d}{dt}(5 + 2t^3) = 6t^2$

角加速度 $\beta$ 是角速度 $\omega$ 对时间 $t$ 的一阶导数（即角位移 $\theta$ 的二阶导数）：
$\beta = \frac{d\omega}{dt} = \frac{d}{dt}(6t^2) = 12t$

2. 计算 $t = 1\text{ s}$ 时的角速度和角加速度

将 $t = 1\text{ s}$ 代入上述公式：
$\omega(1) = 6 \times (1)^2 = 6\text{ rad/s}$
$\beta(1) = 12 \times 1 = 12\text{ rad/s}^2$

3. 计算切向加速度 $a_t$ 和法向加速度 $a_n$

圆周运动的切向加速度大小公式为：
$a_t = R \cdot \beta$
代入已知数据 $R = 0.1\text{ m}$ 和 $\beta(1) = 12\text{ rad/s}^2$：
$a_t = 0.1\text{ m} \times 12\text{ rad/s}^2 = 1.2\text{ m/s}^2$

圆周运动的法向加速度大小公式为：
$a_n = R \cdot \omega^2$
代入已知数据 $R = 0.1\text{ m}$ 和 $\omega(1) = 6\text{ rad/s}$：
$a_n = 0.1\text{ m} \times (6\text{ rad/s})^2 = 0.1 \times 36 = 3.6\text{ m/s}^2$

结论：
当 $t = 1\text{ s}$ 时，它的切向加速度大小为 $1.2\text{ m/s}^2$，法向加速度大小为 $3.6\text{ m/s}^2$。

答案：
第1空：1.2
第2空：3.6

解析

本题考查圆周运动中切向加速度和法向加速度的计算，解题的关键在于先根据角位移与时间的关系求出角速度和角加速度，再利用切向加速度和法向加速度与角速度、角加速度的关系进行计算。

  1. 求角速度$\omega$和角加速度$\beta$
    • 角速度$\omega$是角位移$\theta$对时间$t$的一阶导数，已知$\theta = 5 + 2t^3$，根据求导公式$(X^n)^\prime=nX^{n - 1}$，常数的导数为$0$，可得：
      $\omega = \frac{d\theta}{dt} = \frac{d}{dt}(5 + 2t^3)=0 + 2\times3t^{3 - 1}= 6t^2$
    • 角加速度$\beta$是角速度$\omega$对时间$t$的一阶导数（即角位移$\theta$的二阶导数），对$\omega = 6t^2$求导：
      $\beta = \frac{d\omega}{dt} = \frac{d}{dt}(6t^2)=6\times2t^{2 - 1}= 12t$
  2. 计算$t = 1\text{ s}$时的角速度和角加速度
    • 将$t = 1\text{ s}$代入角速度公式$\omega = 6t^2$，可得：
      $\omega(1) = 6 \times (1)^2 = 6\text{ rad/s}$
    • 将$t = 1\text{ s}$代入角加速度公式$\beta = 12t$，可得：
      $\beta(1) = 12 \times 1 = 12\text{ rad/s}^2$
  3. 计算切向加速度$a_t$和法向加速度$a_n$
    • 圆周运动的切向加速度大小公式为$a_t = R \cdot \beta$，已知$R = 0.1\text{ m}$，$\beta(1) = 12\text{ rad/s}^2$，代入可得：
      $a_t = 0.1\text{ m} \times 12\text{ rad/s}^2 = 1.2\text{ m/s}^2$
    • 圆周运动的法向加速度大小公式为$a_n = R \cdot \omega^2$，已知$R = 0.1\text{ m}$，$\omega(1) = 6\text{ rad/s}$，代入可得：
      $a_n = 0.1\text{ m} \times (6\text{ rad/s})^2 = 0.1 \times 36 = 3.6\text{ m/s}^2$