一厚度为50(mm)的无限大平壁，其稳态温度分布为: t = a + bx^2 (^circ(C))，x 的单位为(m)。式中，a = 200^circ(C)，b = -2000^circ(C)/(m)^2。若平壁材料热导率为45(W)((m)cdot(K))，试求: (1) 根据题意写出导热微分方程； (2) 求平壁两侧表面处的热流密度； (3) 平壁中是否有内热源？为什么？若有的话，它的强度应该是多大？

本题主要考查导热微分方程、热流密度的计算以及内热源强度的判断与计算。解题思路如下：

1. 导热微分方程的推导：
   • 对于一维、稳态、有内热源的导热问题，根据傅里叶定律和能量守恒定律可以推导出导热微分方程。
   • 傅里叶定律表达式为$q_x = -\lambda\frac{dt}{dx}\}$，其中$q_x$为热流密度，$\lambda$为热导率，$\frac{dt}{dx}$为温度梯度。
   • 能量守恒定律要求单位时间内流入微元体的热量与微元体内热源产生的热量之和等于流出微 微元体的热量。对于一维情况，在微元体$dx$内，流入热量为$q_x$，流出热量为$q_x + \frac{dq_x}{dx}dx$，内热源产生热量为$q_vdx$，则有$q_x+q_vdx=q_x + \frac{dq_x}{dx}dx$，化简得$q_v=\frac{dq_x}{dx}$。
   • 将$q_x = -\lambda\frac{dt}{dx}$代入上式，可得$q_v=-\lambda\frac{d^2t}{dx^2}$，移项可得导热微分方程$\frac{d^2 t}{dx^2}+\frac{q_v}{\lambda}=0$。
2. 热流密度的计算：
   • 已知温度分布为$t = a + bx^2$，对其求一阶导数$\frac{dt}{dx}$，根据求导函数求导公式$(X^n)^\prime=nX^{n - 1}$，可得$\frac{dt}{dx}=2bx$。
   • 再根据傅里叶定律$q_x = -\lambda\frac{dt}{dx}$，将$\frac{dt}{dx}=2bx$代入，得到$q_x = -2\lambda bx$。
   • 平壁的厚度为$50mm = 0.05m$，平壁两侧表面分别为$x = 0$和$x = 0.05m$。
   • 当$x = 0$时，$q_x(0)=-2\lambda b\times0 = 0$。
   • 当$x = 0.05m$时，已知$\lambda = 45W/(m\cdot K)$，$b = -2000^{\circ}C/m^2$，代入$q_x = -2\lambda bx$可得：
     $q_x(0.05)=-2\times45\times(-2000)\times0.05$
     $=90\times2000\times0.05$
     $=90\times10$
     $=9000W/m^2$
3. 内热源强度的判断与计算：
   • 若$q_v = 0$，则导热微分方程变为$\frac{d^2t}{dx^2}=0$，此时温度分布为线性关系。而本题中温度分布$t = a + bx^2$是非线性的，所以平壁中存在内热源。
   • 由前面推导的$q_v=-\lambda\frac{d^2t}{dx^2}$，对$t = a + bx^2$求二阶导数，$\(a$为常数，导数为$0$，$(bx^2)^\prime = 2bx$，$(2bx)^\prime = 2b$，即$\frac{d^2t}{dx^2}=2b$。
   • 所以$q_v=-\lambda\times2b$，将$\lambda = 45W/(m\cdot K)$，$b = -2000^{\circ}C/m^2$代入可得：
     $q_v=-2\times(-2000)\times45$
     $=4000\times45$
     $=1.8\times10^5W/m^3$