题目
设总体X sim N(0, sigma^2), X_1, X_2,..., X_n为来自X的样本，则服从chi^2(n-1)的是A. sum_(i=1)^n X_i^2B. (1)/(sigma^2) sum_(i=1)^n X_i^2C. (1)/(sigma^2) sum_(i=1)^n (X_i - overline(X))^2D. sum_(i=1)^n (X_i - overline(X))^2
设总体$X \sim N(0, \sigma^2)$, $X_1, X_2,..., X_n$为来自$X$的样本，则服从$\chi^2(n-1)$的是
A. $\sum_{i=1}^n X_i^2$
B. $\frac{1}{\sigma^2} \sum_{i=1}^n X_i^2$
C. $\frac{1}{\sigma^2} \sum_{i=1}^n (X_i - \overline{X})^2$
D. $\sum_{i=1}^n (X_i - \overline{X})^2$
题目解答
答案
C. $\frac{1}{\sigma^2} \sum_{i=1}^n (X_i - \overline{X})^2$
解析
步骤 1：理解卡方分布的定义
卡方分布$\chi^2(k)$是$k$个独立标准正态随机变量的平方和的分布。对于正态总体$X \sim N(0, \sigma^2)$，样本方差的性质为：
- $\sum_{i=1}^{n} X_i^2 / \sigma^2 \sim \chi^2(n)$，即样本的平方和除以方差服从自由度为$n$的卡方分布。
- $\sum_{i=1}^{n} (X_i - \bar{X})^2 / \sigma^2 \sim \chi^2(n-1)$，即样本的离差平方和除以方差服从自由度为$n-1$的卡方分布，因为样本均值$\bar{X}$导致自由度减1。
步骤 2：分析选项
- **A**：$\sum_{i=1}^{n} X_i^2$，自由度为$n$，排除。
- **B**：$\frac{1}{\sigma^2} \sum_{i=1}^{n} X_i^2$，自由度为$n$，排除。
- **C**：$\frac{1}{\sigma^2} \sum_{i=1}^{n} (X_i - \bar{X})^2$，符合$\chi^2(n-1)$。
- **D**：$\sum_{i=1}^{n} (X_i - \bar{X})^2$，自由度为$n-1$但未除以$\sigma^2$，排除。
卡方分布$\chi^2(k)$是$k$个独立标准正态随机变量的平方和的分布。对于正态总体$X \sim N(0, \sigma^2)$，样本方差的性质为：
- $\sum_{i=1}^{n} X_i^2 / \sigma^2 \sim \chi^2(n)$，即样本的平方和除以方差服从自由度为$n$的卡方分布。
- $\sum_{i=1}^{n} (X_i - \bar{X})^2 / \sigma^2 \sim \chi^2(n-1)$，即样本的离差平方和除以方差服从自由度为$n-1$的卡方分布，因为样本均值$\bar{X}$导致自由度减1。
步骤 2：分析选项
- **A**：$\sum_{i=1}^{n} X_i^2$，自由度为$n$，排除。
- **B**：$\frac{1}{\sigma^2} \sum_{i=1}^{n} X_i^2$，自由度为$n$，排除。
- **C**：$\frac{1}{\sigma^2} \sum_{i=1}^{n} (X_i - \bar{X})^2$，符合$\chi^2(n-1)$。
- **D**：$\sum_{i=1}^{n} (X_i - \bar{X})^2$，自由度为$n-1$但未除以$\sigma^2$，排除。