题目
D由x=2,=(x)^2,y=0围成,f(x,y)在D上连续,将二重积分=(x)^2化为二次积分得(两种次序) ____________ , ____________________.
D由x=2,
,y=0围成,f(x,y)在D上连续,将二重积分
化为二次积分得(两种次序) ____________ , ____________________.
题目解答
答案
根据题意，可解：
画出图形
,
故本题答案为
和
解析
步骤 1：确定积分区域D
根据题目条件，积分区域D由x=2, $y={x}^{2}$, y=0围成。这意味着D是一个在x轴上从0到2，在y轴上从0到${x}^{2}$的区域。
步骤 2：将二重积分化为先对y积分后对x积分的二次积分
在D上，对于每个x，y的取值范围是从0到${x}^{2}$。因此，二重积分${\iint }_{D}f(x,y)d\sigma$可以化为先对y积分后对x积分的二次积分，即${\int }_{0}^{2}dx{\int }_{0}^{{x}^{2}}f(x,y)dy$。
步骤 3：将二重积分化为先对x积分后对y积分的二次积分
在D上，对于每个y，x的取值范围是从$\sqrt{y}$到2。因此，二重积分${\iint }_{D}f(x,y)d\sigma$也可以化为先对x积分后对y积分的二次积分，即${\int }_{0}^{4}dy{\int }_{\sqrt{y}}^{2}f(x,y)dx$。
根据题目条件，积分区域D由x=2, $y={x}^{2}$, y=0围成。这意味着D是一个在x轴上从0到2，在y轴上从0到${x}^{2}$的区域。
步骤 2：将二重积分化为先对y积分后对x积分的二次积分
在D上，对于每个x，y的取值范围是从0到${x}^{2}$。因此，二重积分${\iint }_{D}f(x,y)d\sigma$可以化为先对y积分后对x积分的二次积分，即${\int }_{0}^{2}dx{\int }_{0}^{{x}^{2}}f(x,y)dy$。
步骤 3：将二重积分化为先对x积分后对y积分的二次积分
在D上，对于每个y，x的取值范围是从$\sqrt{y}$到2。因此，二重积分${\iint }_{D}f(x,y)d\sigma$也可以化为先对x积分后对y积分的二次积分，即${\int }_{0}^{4}dy{\int }_{\sqrt{y}}^{2}f(x,y)dx$。