质量为m=0.5 kg 的质点,在Oxy 坐标平面内运动,其运动方程为x=5t,y=5t2 (SI),从t=2s 到t=4s 这段时间内,外力对质点作的功为 ( ):(5.0)A. 150 J ;B. 300 J ;C. 450 J ;D. -150 J ।

本题考查动能定理的应用，核心思路是通过计算质点动能的变化来确定外力所做的功。关键点在于：

1. 根据运动方程求出速度：分别对$x$和$y$的运动方程求导，得到速度的分量；
2. 计算动能的变化：利用动能公式$\Delta E_k = \frac{1}{2}m(v_2^2 - v_1^2)$，其中$v_1$和$v_2$分别为初、末时刻的速度大小；
3. 动能定理：外力对质点做的功等于动能的改变量，即$W = \Delta E_k$。

步骤1：求速度的分量

• $x$方向速度：
  $v_x = \frac{dx}{dt} = \frac{d}{dt}(5t) = 5 \, \text{m/s}$
• $y$方向速度：
  $v_y = \frac{dy}{dt} = \frac{d}{dt}(5t^2) = 10t \, \text{m/s}$

步骤2：计算初、末时刻的速度大小

• $t=2 \, \text{s}$时：
  $v_1 = \sqrt{v_x^2 + v_y^2} = \sqrt{5^2 + (10 \cdot 2)^2} = \sqrt{25 + 400} = \sqrt{425} = 5\sqrt{17} \, \text{m/s}$
• $t=4 \, \text{s}$时：
  $v_2 = \sqrt{v_x^2 + v_y^2} = \sqrt{5^2 + (10 \cdot 4)^2} = \sqrt{25 + 1600} = \sqrt{1625} = 5\sqrt{65} \, \text{m/s}$

步骤3：计算动能的变化

• 初动能：
  $E_{k1} = \frac{1}{2}mv_1^2 = \frac{1}{2} \cdot 0.5 \cdot (5\sqrt{17})^2 = 0.25 \cdot 425 = 106.25 \, \text{J}$
• 末动能：
  $E_{k2} = \frac{1}{2}mv_2^2 = \frac{1}{2} \cdot 0.5 \cdot (5\sqrt{65})^2 = 0.25 \cdot 1625 = 406.25 \, \text{J}$
• 动能变化：
  $\Delta E_k = E_{k2} - E_{k1} = 406.25 - 106.25 = 300 \, \text{J}$

步骤4：外力做的功

根据动能定理，外力做的功等于动能的变化：
$W = \Delta E_k = 300 \, \text{J}$