8.(5.0分)设随机变量X服从泊松分布，且P(X=1)=P(X=2)，则P(X=2)=____.

为了求解 $ P(X=2) $，我们首先需要利用泊松分布的定义。泊松分布的概率质量函数为： \[ P(X = k) = \frac{\lambda^k e^{-\lambda}}{k!} \] 其中， $ \lambda $ 是泊松分布的参数， $ k $ 是非负整数。 根据题目，我们已知 $ P(X=1) = P(X=2) $。将 $ k = 1 $ 和 $ k = 2 $ 代入泊松分布的概率质量函数，我们得到： \[ P(X = 1) = \frac{\lambda^1 e^{-\lambda}}{1!} = \lambda e^{-\lambda} \] \[ P(X = 2) = \frac{\lambda^2 e^{-\lambda}}{2!} = \frac{\lambda^2 e^{-\lambda}}{2} \] 由于 $ P(X=1) = P(X=2) $，我们可以将这两个表达式设置为相等： \[ \lambda e^{-\lambda} = \frac{\lambda^2 e^{-\lambda}}{2} \] 为了消去 $ e^{-\lambda} $（假设 $ \lambda \neq 0 $），我们两边同时除以 $ e^{-\lambda} $： \[ \lambda = \frac{\lambda^2}{2} \] 接下来，我们解这个方程。首先，将所有项移到一边： \[ 2\lambda = \lambda^2 \] \[ \lambda^2 - 2\lambda = 0 \] \[ \lambda(\lambda - 2) = 0 \] 这给出了两个解： $ \lambda = 0 $ 或 $ \lambda = 2 $。由于 $ \lambda = 0 $ 会导致泊松分布退化为一个确定的值，因此我们 discard $ \lambda = 0 $。因此，我们有： \[ \lambda = 2 \] 现在，我们已经确定了 $ \lambda $ 的值，我们可以计算 $ P(X=2) $： \[ P(X = 2) = \frac{\lambda^2 e^{-\lambda}}{2!} = \frac{2^2 e^{-2}}{2} = \frac{4 e^{-2}}{2} = 2 e^{-2} \] 为了得到数值，我们使用 $ e \approx 2.71828 $： \[ e^{-2} \approx \frac{1}{7.389056} \approx 0.135335 \] \[ 2 e^{-2} \approx 2 \times 0.135335 = 0.27067 \] 因此， $ P(X=2) $ 的值为： \[ \boxed{\frac{2}{e^2}} \] 或者数值上： \[ \boxed{0.2707} \]