题目
小明站在水平地面上,手握不可伸长的轻绳一端,绳的另一端系有质量为m的小球,甩动手腕,使球-|||-在竖直平面内做圆周运动.当球某次运动到最低点时,绳突然断掉,球飞行水平距离d后落地,如图所示.已-|||-知握绳的手离地面高度为d,手与球之间的绳长为 dfrac (3)(4)d, 重力加速度为g.忽略手的运动半径和空气阻力.-|||-(1)求绳断开时球的速度大小v1-|||-(2)问绳能承受的最大拉力多大?-|||-(3)改变绳长,使球重复上述运动,若绳仍在球运动到最低点时断掉,要使球抛出的水平距离最大,绳长-|||-应为多少?最大水平距离为多少?-|||-d-|||-。-|||-7 7-|||-d
题目解答
答案
解析
步骤 1：确定绳断开时球的速度大小
绳断开后，球做平抛运动。根据平抛运动的规律，竖直方向上球做自由落体运动，水平方向上球做匀速直线运动。设绳断开时球的速度为 $v_1$，绳断后球飞行的水平距离为 $d$，手离地面的高度为 $d$，绳长为 $\frac{3}{4}d$。竖直方向上，球下落的高度为 $d - \frac{3}{4}d = \frac{1}{4}d$，根据自由落体运动公式，有：
$$
\frac{1}{4}d = \frac{1}{2}gt_1^2
$$
解得：
$$
t_1 = \sqrt{\frac{d}{2g}}
$$
水平方向上，球做匀速直线运动，有：
$$
d = v_1 t_1
$$
将 $t_1$ 的表达式代入，解得：
$$
v_1 = \frac{d}{t_1} = \sqrt{2gd}
$$
步骤 2：求绳能承受的最大拉力
球在最低点时，绳子的拉力和重力的合力提供向心力，根据牛顿第二定律，有：
$$
F_{m} - mg = \frac{mv_1^2}{R}
$$
其中，$F_{m}$ 是绳子能承受的最大拉力，$R$ 是球做圆周运动的半径，即绳长 $\frac{3}{4}d$。将 $v_1$ 的表达式代入，解得：
$$
F_{m} = mg + \frac{m(2gd)}{\frac{3}{4}d} = mg + \frac{8mg}{3} = \frac{11}{3}mg
$$
步骤 3：求绳长为多少时，球抛出的水平距离最大
设绳长为 $l$，绳断时球的速度为 $v_2$。根据牛顿第二定律，有：
$$
F_{m} - mg = \frac{mv_2^2}{l}
$$
解得：
$$
v_2 = \sqrt{\frac{8gl}{3}}
$$
绳断后球做平抛运动，竖直位移为 $d - l$，水平位移为 $x$，时间为 $t_2$。竖直方向上，有：
$$
d - l = \frac{1}{2}gt_2^2
$$
水平方向上，有：
$$
x = v_2 t_2
$$
将 $v_2$ 的表达式代入，解得：
$$
x = 4\sqrt{\frac{l(d - l)}{3}}
$$
根据数学关系，当 $l = \frac{d}{2}$ 时，$x$ 有极大值，为：
$$
x_{m} = \frac{2\sqrt{3}}{3}d
$$
绳断开后，球做平抛运动。根据平抛运动的规律，竖直方向上球做自由落体运动，水平方向上球做匀速直线运动。设绳断开时球的速度为 $v_1$，绳断后球飞行的水平距离为 $d$，手离地面的高度为 $d$，绳长为 $\frac{3}{4}d$。竖直方向上，球下落的高度为 $d - \frac{3}{4}d = \frac{1}{4}d$，根据自由落体运动公式，有：
$$
\frac{1}{4}d = \frac{1}{2}gt_1^2
$$
解得：
$$
t_1 = \sqrt{\frac{d}{2g}}
$$
水平方向上，球做匀速直线运动，有：
$$
d = v_1 t_1
$$
将 $t_1$ 的表达式代入，解得：
$$
v_1 = \frac{d}{t_1} = \sqrt{2gd}
$$
步骤 2：求绳能承受的最大拉力
球在最低点时，绳子的拉力和重力的合力提供向心力，根据牛顿第二定律，有：
$$
F_{m} - mg = \frac{mv_1^2}{R}
$$
其中，$F_{m}$ 是绳子能承受的最大拉力，$R$ 是球做圆周运动的半径，即绳长 $\frac{3}{4}d$。将 $v_1$ 的表达式代入，解得：
$$
F_{m} = mg + \frac{m(2gd)}{\frac{3}{4}d} = mg + \frac{8mg}{3} = \frac{11}{3}mg
$$
步骤 3：求绳长为多少时，球抛出的水平距离最大
设绳长为 $l$，绳断时球的速度为 $v_2$。根据牛顿第二定律，有：
$$
F_{m} - mg = \frac{mv_2^2}{l}
$$
解得：
$$
v_2 = \sqrt{\frac{8gl}{3}}
$$
绳断后球做平抛运动，竖直位移为 $d - l$，水平位移为 $x$，时间为 $t_2$。竖直方向上，有：
$$
d - l = \frac{1}{2}gt_2^2
$$
水平方向上，有：
$$
x = v_2 t_2
$$
将 $v_2$ 的表达式代入，解得：
$$
x = 4\sqrt{\frac{l(d - l)}{3}}
$$
根据数学关系，当 $l = \frac{d}{2}$ 时，$x$ 有极大值，为：
$$
x_{m} = \frac{2\sqrt{3}}{3}d
$$