题目
一电子静止在一振荡磁场 B = B_0 cos omega t k 中，其中 k 为沿坐标系 Z 轴方向的单位矢量。 B_0 和 omega 为常数。在自旋算符 hat(S)^2 和 hat(S)_z 表象中，写出这个体系的哈密顿矩阵。这个电子的初始态 t = 0 时处于 X 轴方向上的上自旋态即 chi(t=0) = chi_+^(x) 即 |x+rangle ，确定以后任意时刻的 chi(t) ，如果对 chi(t) 测量 hat(S)_x ，求出得出 -(hbar)/(2) 的几率，求迫使 hat(S)_x 完全翻转所需要的最小磁场 B_0 是多大？
一电子静止在一振荡磁场 $ B = B_0 \cos \omega t k $ 中，其中 $ k $ 为沿坐标系 $ Z $ 轴方向的单位矢量。$ B_0 $ 和 $ \omega $ 为常数。在自旋算符 $ \hat{S}^2 $ 和 $ \hat{S}_z $ 表象中，写出这个体系的哈密顿矩阵。这个电子的初始态 $ t = 0 $ 时处于 $ X $ 轴方向上的上自旋态即 $ \chi(t=0) = \chi_+^{(x)} $ 即 $ |x+\rangle $，确定以后任意时刻的 $ \chi(t) $，如果对 $ \chi(t) $ 测量 $ \hat{S}_x $，求出得出 $ -\frac{\hbar}{2} $ 的几率，求迫使 $ \hat{S}_x $ 完全翻转所需要的最小磁场 $ B_0 $ 是多大？
题目解答
答案
1. 哈密顿矩阵为：
\[
H = \frac{\hbar \omega_0}{2} \cos(\omega t) \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}, \quad \omega_0 = \frac{e B_0}{m}
\]
2. 初始条件 $ \chi(0) = \frac{1}{\sqrt{2}} \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix} $，任意时刻的波函数为：
\[
\chi(t) = \frac{1}{\sqrt{2}} \begin{pmatrix} e^{i\xi} \\ e^{-i\xi} \end{pmatrix}, \quad \xi = \frac{e B_0}{2 m \omega} \sin(\omega t)
\]
3. 测量 $ \hat{S}_x $ 得到 $ -\hbar/2 $ 的概率为：
\[
P = \sin^2\left( \frac{e B_0}{2 m \omega} \sin(\omega t) \right)
\]
4. 最小磁场 $ B_0 $ 为：
\[
B_0 = \frac{m \omega \pi}{e}
\]