长为 l 的金属直导线在垂直于均匀磁场 boldsymbol(B) 的平面内以角速度 omega 转动，如果转轴的位置在金属直导线的端点，导线上的电动势数值为 _______；如果转轴的位置在中点，整个导线上的电动势数值为 _______。

本题考查的是动生电动势的计算，解题的关键思路是利用动生电动势的公式$\mathcal{E}=\int(\boldsymbol{v}\times\boldsymbol{B})\cdot d\boldsymbol{l}$，通过分析导线各部分的运动速度，进而计算出整个导线的电动势。

1. 转轴位置在金属直导线的端点时

• 首先，在距离转轴$r$处取一小段导线$dr$，这一小段导线的线速度$v$与$r$的关系为$v = \omega r$（根据线速度与角速度的关系$v = r\omega$）。
• 由于导线在垂直于均匀磁场$\boldsymbol{B}$的平面内转动，$\boldsymbol{v}$与$\boldsymbol{B}$垂直，所以$\boldsymbol{v}\times\boldsymbol{B}$的大小为$vB=\omega rB$，且方向沿导线方向。
• 那么这一小段导线$dr$产生的动生电动势$d\mathcal{E}=(\boldsymbol{v}\times\boldsymbol{B})\cdot d\boldsymbol{l}$，因为$(\boldsymbol{v}\times\boldsymbol{B})$与$d\boldsymbol{l}$方向相同，所以$d\mathcal{E}=B\omega rdr$。
• 对整个导线进行积分，积分区间从$0$到$l$，可得导线上的电动势$\mathcal{E}=\int_{0}^{l}B\omega rdr$。
• 根据积分公式$\int x^n dx=\frac{1}{n + 1}x^{n + 1}+C$（$n\neq -1$），对$\int_{0}^{l}B\omega rdr$进行计算：
  $\begin{align*}\mathcal{E}&=B\omega\int_{0}^{l} rdr\\&=B\omega\left[\frac{1}{2}r^2\right]_0^l\\&=B\omega\left(\frac{1}{2}l^2 - 0\right)\\&=\frac{1}{2}B\omega l^2\end{align*}$

2. 转轴位置在金属直导线的中点时

• 同样在距离转轴$r$处取一小段导线$dr$，线速度$v = \omega r$，这一小段导线产生的动生电动势$d\mathcal{E}=B\omega rdr$。
• 对于导线的左半部分，积分区间从$0$到$\frac{l}{2}$，其电动势$\mathcal{E}_1=\int_{0}^{\frac{l}{2}}B\omega rdr$。
  根据积分公式计算：
  $\begin{align*}\mathcal{E}_1&=B\omega\int_{0}^{\frac{l}{2}} rdr\\&=B\omega\left[\frac{1}{2}r^2\right]_0^{\frac{l}{2}}\\&=B\omega\left(\frac{1}{2}\times(\frac{l}{2})^2 - 0\right)\\&=\frac{1}{8}B\omega l^2\end{align*}$
• 对于导线的右半部分，积分区间从$0$到$\frac{l}{2}$，其电动势$\mathcal{E}_2=\int_{0}^{\frac{l}{2}}B\omega rdr=\frac{1}{8}B\omega l^2$。
• 由于左半部分和右半部分产生的电动势方向相反，所以整个导线上的总电动势$\mathcal{E}=\mathcal{E}_1-\mathcal{E}_2=\frac{1}{8}B\omega l^2-\frac{1}{8}B\omega l^2 = 0$。