题目
"一半径为R的带电球体，其电荷体密度分布为rho =dfrac{qr)({mathrm{pi R)}^4}，rleqslant R，qmathrm(为一正的常量) rho =0，rgt R.。试求：(1)带电球体的总电荷；(2)球内、外各点的电场强度；(3)球内、外各点的电势。"
"
一半径为R的带电球体，其电荷体密度分布为$\left\{\begin{array}{l}\rho =\dfrac{qr}{{\mathrm{\pi R}}^{4}}，r\leqslant R，q\mathrm{为一正的常量}\\ \rho =0，r\gt R\end{array}\right.$。试求：
(1)带电球体的总电荷；
(2)球内、外各点的电场强度；
(3)球内、外各点的电势。
"
题目解答
答案
解析
步骤 1：计算带电球体的总电荷
带电球体的总电荷可以通过积分电荷体密度$\rho$在整个球体体积内得到。由于电荷体密度$\rho$在球体内部是径向分布的，我们可以使用球坐标系进行积分。球体的体积元为$dV = 4\pi r^2 dr$，因此总电荷$Q$为：
$$Q = \int_{0}^{R} \rho dV = \int_{0}^{R} \frac{qr}{\pi R^4} 4\pi r^2 dr = \frac{4q}{R^4} \int_{0}^{R} r^3 dr$$
步骤 2：计算球内、外各点的电场强度
根据高斯定理，球内各点的电场强度$E_{\text{内}}$可以通过球体内部的电荷量来计算，而球外各点的电场强度$E_{\text{外}}$可以通过球体的总电荷量来计算。球内各点的电场强度为：
$$E_{\text{内}} = \frac{1}{4\pi \varepsilon_0} \frac{Q_{\text{内}}}{r^2}$$
其中$Q_{\text{内}}$是球体内部半径为$r$的球体内的电荷量。球外各点的电场强度为：
$$E_{\text{外}} = \frac{1}{4\pi \varepsilon_0} \frac{Q}{r^2}$$
步骤 3：计算球内、外各点的电势
球内各点的电势$U_{\text{内}}$可以通过积分电场强度$E_{\text{内}}$从球体表面到该点得到，而球外各点的电势$U_{\text{外}}$可以通过积分电场强度$E_{\text{外}}$从无穷远到该点得到。球内各点的电势为：
$$U_{\text{内}} = -\int_{R}^{r} E_{\text{内}} dr$$
球外各点的电势为：
$$U_{\text{外}} = -\int_{\infty}^{r} E_{\text{外}} dr$$
带电球体的总电荷可以通过积分电荷体密度$\rho$在整个球体体积内得到。由于电荷体密度$\rho$在球体内部是径向分布的，我们可以使用球坐标系进行积分。球体的体积元为$dV = 4\pi r^2 dr$，因此总电荷$Q$为：
$$Q = \int_{0}^{R} \rho dV = \int_{0}^{R} \frac{qr}{\pi R^4} 4\pi r^2 dr = \frac{4q}{R^4} \int_{0}^{R} r^3 dr$$
步骤 2：计算球内、外各点的电场强度
根据高斯定理，球内各点的电场强度$E_{\text{内}}$可以通过球体内部的电荷量来计算，而球外各点的电场强度$E_{\text{外}}$可以通过球体的总电荷量来计算。球内各点的电场强度为：
$$E_{\text{内}} = \frac{1}{4\pi \varepsilon_0} \frac{Q_{\text{内}}}{r^2}$$
其中$Q_{\text{内}}$是球体内部半径为$r$的球体内的电荷量。球外各点的电场强度为：
$$E_{\text{外}} = \frac{1}{4\pi \varepsilon_0} \frac{Q}{r^2}$$
步骤 3：计算球内、外各点的电势
球内各点的电势$U_{\text{内}}$可以通过积分电场强度$E_{\text{内}}$从球体表面到该点得到，而球外各点的电势$U_{\text{外}}$可以通过积分电场强度$E_{\text{外}}$从无穷远到该点得到。球内各点的电势为：
$$U_{\text{内}} = -\int_{R}^{r} E_{\text{内}} dr$$
球外各点的电势为：
$$U_{\text{外}} = -\int_{\infty}^{r} E_{\text{外}} dr$$