题目
磁感应强度为overrightarrow(B)的均匀磁场充满一半径为R的圆柱形空间，一金属杆放在图中位置，杆长为2R，其中一半位于磁场内、另一半在磁场外。当((dB))/((dt))＞0时，求：杆两端的感应电动势的大小和方向。
磁感应强度为$\overrightarrow{B}$的均匀磁场充满一半径为R的圆柱形空间，一金属杆放在图中位置，杆长为2R，其中一半位于磁场内、另一半在磁场外。当$\frac{{dB}}{{dt}}$＞0时，求：杆两端的感应电动势的大小和方向。题目解答
答案
解：如图所示，
杆两端的感应电动势为ε=εba+εcb
根据法拉第电磁感应定律
${ε_{ba}}=\frac{{Δ{Φ_1}}}{{Δt}}=\frac{{ΔB}}{{Δt}}{S_1}=\frac{{\sqrt{3}}}{4}{R^2}\frac{{dB}}{{dt}}$
${ε_{cb}}=\frac{{Δ{Φ_2}}}{{Δt}}=\frac{{ΔB}}{{Δt}}{S_2}=\frac{π}{{12}}{R^2}\frac{{dB}}{{dt}}$
故杆两端的感应电动势大小为$ε=（\frac{{\sqrt{3}}}{4}+\frac{π}{{12}}）{R^2}\frac{{dB}}{{dt}}$
由于$\frac{{dB}}{{dt}}＞0$
根据楞次定律可知，感应电动势的方向由c到a，即沿杆向左。
答：杆两端的感应电动势的大小为$（\frac{{\sqrt{3}}}{4}+\frac{π}{{12}}）{R^2}\frac{{dB}}{{dt}}$，方向沿杆向左
杆两端的感应电动势为ε=εba+εcb
根据法拉第电磁感应定律
${ε_{ba}}=\frac{{Δ{Φ_1}}}{{Δt}}=\frac{{ΔB}}{{Δt}}{S_1}=\frac{{\sqrt{3}}}{4}{R^2}\frac{{dB}}{{dt}}$
${ε_{cb}}=\frac{{Δ{Φ_2}}}{{Δt}}=\frac{{ΔB}}{{Δt}}{S_2}=\frac{π}{{12}}{R^2}\frac{{dB}}{{dt}}$
故杆两端的感应电动势大小为$ε=（\frac{{\sqrt{3}}}{4}+\frac{π}{{12}}）{R^2}\frac{{dB}}{{dt}}$
由于$\frac{{dB}}{{dt}}＞0$
根据楞次定律可知，感应电动势的方向由c到a，即沿杆向左。
答：杆两端的感应电动势的大小为$（\frac{{\sqrt{3}}}{4}+\frac{π}{{12}}）{R^2}\frac{{dB}}{{dt}}$，方向沿杆向左
解析
步骤 1：确定感应电动势的来源
根据法拉第电磁感应定律，感应电动势的产生是由于穿过闭合回路的磁通量发生变化。在这个问题中，金属杆的一半位于磁场内，另一半位于磁场外，因此，当磁场的磁感应强度随时间变化时，会产生感应电动势。
步骤 2：计算磁场内部分的感应电动势
磁场内部分的感应电动势可以通过计算穿过磁场内部分的磁通量的变化率来得到。由于磁场是均匀的，磁通量的变化率等于磁感应强度的变化率乘以磁场内部分的面积。磁场内部分的面积为半径为R的圆的面积的一半，即$\frac{1}{2}πR^2$。因此，磁场内部分的感应电动势为$\frac{1}{2}πR^2\frac{dB}{dt}$。
步骤 3：计算磁场外部分的感应电动势
磁场外部分的感应电动势可以通过计算穿过磁场外部分的磁通量的变化率来得到。由于磁场外部分没有磁感应强度，因此，磁场外部分的感应电动势为0。
步骤 4：计算总感应电动势
总感应电动势等于磁场内部分的感应电动势加上磁场外部分的感应电动势。因此，总感应电动势为$\frac{1}{2}πR^2\frac{dB}{dt}$。
步骤 5：确定感应电动势的方向
根据楞次定律，感应电动势的方向与磁通量变化的方向相反。由于$\frac{dB}{dt}＞0$，因此，感应电动势的方向由c到a，即沿杆向左。
根据法拉第电磁感应定律，感应电动势的产生是由于穿过闭合回路的磁通量发生变化。在这个问题中，金属杆的一半位于磁场内，另一半位于磁场外，因此，当磁场的磁感应强度随时间变化时，会产生感应电动势。
步骤 2：计算磁场内部分的感应电动势
磁场内部分的感应电动势可以通过计算穿过磁场内部分的磁通量的变化率来得到。由于磁场是均匀的，磁通量的变化率等于磁感应强度的变化率乘以磁场内部分的面积。磁场内部分的面积为半径为R的圆的面积的一半，即$\frac{1}{2}πR^2$。因此，磁场内部分的感应电动势为$\frac{1}{2}πR^2\frac{dB}{dt}$。
步骤 3：计算磁场外部分的感应电动势
磁场外部分的感应电动势可以通过计算穿过磁场外部分的磁通量的变化率来得到。由于磁场外部分没有磁感应强度，因此，磁场外部分的感应电动势为0。
步骤 4：计算总感应电动势
总感应电动势等于磁场内部分的感应电动势加上磁场外部分的感应电动势。因此，总感应电动势为$\frac{1}{2}πR^2\frac{dB}{dt}$。
步骤 5：确定感应电动势的方向
根据楞次定律，感应电动势的方向与磁通量变化的方向相反。由于$\frac{dB}{dt}＞0$，因此，感应电动势的方向由c到a，即沿杆向左。