I-|||-a-|||-0-|||-b dx x如图所示,有一根长直导线,载有直流电流I,近旁有一个两条对边与它平行并与它共面的矩形线圈,以匀速度I-|||-a-|||-0-|||-b dx x沿垂直于导线的方向离开导线.设t=0时,线圈位于图示位置,求:(1)在任意时刻t通过矩形线圈的磁通量.(2)在图示位置时矩形线圈中的电动势.

步骤 1：计算任意时刻t通过矩形线圈的磁通量
在任意时刻t，矩形线圈的左边界距离长直导线的距离为a+vt，右边界距离长直导线的距离为b+vt。根据毕奥-萨伐尔定律，长直导线产生的磁场为
\[ B = \frac{\mu_0 I}{2\pi r} \]
其中，\(\mu_0\)是真空磁导率，I是电流，r是到导线的距离。穿过矩形线圈的磁通量为
\[ \Phi = \int_{a+vt}^{b+vt} B \cdot dS = \int_{a+vt}^{b+vt} \frac{\mu_0 I}{2\pi r} \cdot l \cdot dr \]
\[ = \frac{\mu_0 I l}{2\pi} \int_{a+vt}^{b+vt} \frac{1}{r} dr \]
\[ = \frac{\mu_0 I l}{2\pi} \ln \left( \frac{b+vt}{a+vt} \right) \]

步骤 2：计算图示位置时矩形线圈中的电动势
根据法拉第电磁感应定律，电动势为
\[ \mathcal{E} = -\frac{d\Phi}{dt} \]
将步骤1中得到的磁通量代入，得到
\[ \mathcal{E} = -\frac{d}{dt} \left( \frac{\mu_0 I l}{2\pi} \ln \left( \frac{b+vt}{a+vt} \right) \right) \]
\[ = -\frac{\mu_0 I l}{2\pi} \cdot \frac{d}{dt} \ln \left( \frac{b+vt}{a+vt} \right) \]
\[ = -\frac{\mu_0 I l}{2\pi} \cdot \frac{1}{\frac{b+vt}{a+vt}} \cdot \frac{d}{dt} \left( \frac{b+vt}{a+vt} \right) \]
\[ = -\frac{\mu_0 I l}{2\pi} \cdot \frac{a+vt}{b+vt} \cdot \frac{v(a+vt) - v(b+vt)}{(a+vt)^2} \]
\[ = -\frac{\mu_0 I l}{2\pi} \cdot \frac{a+vt}{b+vt} \cdot \frac{v(a-b)}{(a+vt)^2} \]
\[ = \frac{\mu_0 I l v (b-a)}{2\pi (a+vt)(b+vt)} \]
在图示位置时，t=0，所以
\[ \mathcal{E} = \frac{\mu_0 I l v (b-a)}{2\pi ab} \]