题目
19.如图所示,一个质量为m的物体与绕在定滑轮上的绳子相联,绳子质量可以忽略,它与定滑轮之间无-|||-滑动。假设定滑轮质量为M、半径为R,其转动惯量为 dfrac (1)(2)(MR)^2, 滑轮轴光滑。试求该物体由静止开始下落-|||-的过程中,下落速度与时间的关系。-|||-R-|||-M-|||-m|
题目解答
答案
解析
步骤 1：对物体应用牛顿第二定律
物体受到重力mg和绳子的拉力T的作用，根据牛顿第二定律，有：
$$ mg - T = ma $$
步骤 2：对滑轮应用转动定律
滑轮受到绳子的拉力T，根据转动定律，有：
$$ TR = \frac{1}{2}M{R}^{2}\beta $$
其中，$\beta$是滑轮的角加速度。
步骤 3：建立运动学关系
物体的线加速度a与滑轮的角加速度$\beta$之间的关系为：
$$ a = R\beta $$
步骤 4：联立求解
将步骤2中的$\beta$用$a$表示，代入步骤2的方程，得到：
$$ TR = \frac{1}{2}M{R}^{2}\frac{a}{R} $$
化简得到：
$$ T = \frac{1}{2}Ma $$
将此结果代入步骤1的方程，得到：
$$ mg - \frac{1}{2}Ma = ma $$
解得：
$$ a = \frac{mg}{m + \frac{1}{2}M} $$
步骤 5：求解速度
物体由静止开始下落，其速度与时间的关系为：
$$ v = at = \frac{mgt}{m + \frac{1}{2}M} $$
物体受到重力mg和绳子的拉力T的作用，根据牛顿第二定律，有：
$$ mg - T = ma $$
步骤 2：对滑轮应用转动定律
滑轮受到绳子的拉力T，根据转动定律，有：
$$ TR = \frac{1}{2}M{R}^{2}\beta $$
其中，$\beta$是滑轮的角加速度。
步骤 3：建立运动学关系
物体的线加速度a与滑轮的角加速度$\beta$之间的关系为：
$$ a = R\beta $$
步骤 4：联立求解
将步骤2中的$\beta$用$a$表示，代入步骤2的方程，得到：
$$ TR = \frac{1}{2}M{R}^{2}\frac{a}{R} $$
化简得到：
$$ T = \frac{1}{2}Ma $$
将此结果代入步骤1的方程，得到：
$$ mg - \frac{1}{2}Ma = ma $$
解得：
$$ a = \frac{mg}{m + \frac{1}{2}M} $$
步骤 5：求解速度
物体由静止开始下落，其速度与时间的关系为：
$$ v = at = \frac{mgt}{m + \frac{1}{2}M} $$