题目
设一圆锥形储水池，深15m，口径20m，盛满水，今以泵将水吸尽，问要做多少功？
设一圆锥形储水池，深15m，口径20m，盛满水，今以泵将水吸尽，问要做多少功？
题目解答
答案
解：取
解析
步骤 1：确定圆锥形储水池的体积微元
圆锥形储水池的底面半径为10m，高为15m。取$y$轴垂直于底面，原点位于底面中心，$y$轴正方向向上。设$y$处的水层厚度为$dy$，则该水层的半径为$r(y)=\frac{2}{3}y$，因为圆锥的底面半径与高度之比为$\frac{10}{15}=\frac{2}{3}$。因此，该水层的体积微元为$v(y)=\pi r(y)^2dy=\pi (\frac{2}{3}y)^2dy=\frac{4}{9}\pi y^2dy$。
步骤 2：计算水层的重量
水的密度为$\rho$，重力加速度为$g$，则水层的重量为$\omega(y)=\rho g v(y)=\rho g \frac{4}{9}\pi y^2dy$。
步骤 3：计算将水层提升到水面所做的功
将水层从$y$处提升到水面，需要克服重力做功，提升的高度为$15-y$。因此，将水层提升到水面所做的功为$W(y)=\omega(y)(15-y)=\rho g \frac{4}{9}\pi y^2(15-y)dy$。
步骤 4：计算将整个水池中的水提升到水面所做的总功
将整个水池中的水提升到水面所做的总功为$W=\int_{0}^{15}W(y)dy=\int_{0}^{15}\rho g \frac{4}{9}\pi y^2(15-y)dy$。
步骤 5：计算积分
$W=\int_{0}^{15}\rho g \frac{4}{9}\pi y^2(15-y)dy=\rho g \frac{4}{9}\pi \int_{0}^{15}(15y^2-y^3)dy=\rho g \frac{4}{9}\pi (\frac{15}{3}y^3-\frac{1}{4}y^4)|_{0}^{15}=\rho g \frac{4}{9}\pi (\frac{15}{3}15^3-\frac{1}{4}15^4)=\rho g \frac{4}{9}\pi (11250-5625)=\rho g \frac{4}{9}\pi 5625=1875\rho g \pi$。
圆锥形储水池的底面半径为10m，高为15m。取$y$轴垂直于底面，原点位于底面中心，$y$轴正方向向上。设$y$处的水层厚度为$dy$，则该水层的半径为$r(y)=\frac{2}{3}y$，因为圆锥的底面半径与高度之比为$\frac{10}{15}=\frac{2}{3}$。因此，该水层的体积微元为$v(y)=\pi r(y)^2dy=\pi (\frac{2}{3}y)^2dy=\frac{4}{9}\pi y^2dy$。
步骤 2：计算水层的重量
水的密度为$\rho$，重力加速度为$g$，则水层的重量为$\omega(y)=\rho g v(y)=\rho g \frac{4}{9}\pi y^2dy$。
步骤 3：计算将水层提升到水面所做的功
将水层从$y$处提升到水面，需要克服重力做功，提升的高度为$15-y$。因此，将水层提升到水面所做的功为$W(y)=\omega(y)(15-y)=\rho g \frac{4}{9}\pi y^2(15-y)dy$。
步骤 4：计算将整个水池中的水提升到水面所做的总功
将整个水池中的水提升到水面所做的总功为$W=\int_{0}^{15}W(y)dy=\int_{0}^{15}\rho g \frac{4}{9}\pi y^2(15-y)dy$。
步骤 5：计算积分
$W=\int_{0}^{15}\rho g \frac{4}{9}\pi y^2(15-y)dy=\rho g \frac{4}{9}\pi \int_{0}^{15}(15y^2-y^3)dy=\rho g \frac{4}{9}\pi (\frac{15}{3}y^3-\frac{1}{4}y^4)|_{0}^{15}=\rho g \frac{4}{9}\pi (\frac{15}{3}15^3-\frac{1}{4}15^4)=\rho g \frac{4}{9}\pi (11250-5625)=\rho g \frac{4}{9}\pi 5625=1875\rho g \pi$。