设闭区域D由曲线y=x^2和直线y=0, x=1围成， f(x,y)=xe^y+int_(D)f(x,y)dxdy，则int_(D)f(x,y)dxdy=().A. (2e-5)/(3)B. (3e-6)/(4)C. (2e-1)/(3)D. (2e-3)/(3)

考查要点：本题主要考查二重积分的计算及方程求解能力，需要将积分结果视为常数，建立方程求解。

解题思路：

1. 设定积分结果为常数：设$\iint_{D} f(x,y) \, dxdy = A$，则$f(x,y) = xe^y + A$。
2. 转换为累次积分：根据区域$D$的描述，将二重积分转换为先对$y$后对$x$的累次积分。
3. 分步计算积分：先对$y$积分，再对$x$积分，最终建立关于$A$的方程并求解。

破题关键：将积分结果视为常数，通过分步积分建立方程，避免直接处理复杂的积分表达式。

设$\iint_{D} f(x,y) \, dxdy = A$，则$f(x,y) = xe^y + A$。根据区域$D$的定义，二重积分可表示为：

$A = \int_{0}^{1} \int_{0}^{x^2} (xe^y + A) \, dy \, dx.$

步骤1：计算内层积分（对$y$积分）

$\begin{aligned}\int_{0}^{x^2} (xe^y + A) \, dy &= x \int_{0}^{x^2} e^y \, dy + A \int_{0}^{x^2} dy \\&= x \left( e^{x^2} - 1 \right) + A x^2 \\&= xe^{x^2} - x + Ax^2.\end{aligned}$

步骤2：计算外层积分（对$x$积分）

$\begin{aligned}A &= \int_{0}^{1} \left( xe^{x^2} - x + Ax^2 \right) dx \\&= \underbrace{\int_{0}^{1} xe^{x^2} dx}_{\text{第一部分}} - \underbrace{\int_{0}^{1} x \, dx}_{\text{第二部分}} + \underbrace{A \int_{0}^{1} x^2 dx}_{\text{第三部分}}.\end{aligned}$

• 第一部分：令$u = x^2$，则$du = 2x dx$，积分变为$\frac{1}{2} \int_{0}^{1} e^u du = \frac{1}{2}(e - 1)$。
• 第二部分：$\int_{0}^{1} x \, dx = \frac{1}{2}$。
• 第三部分：$A \int_{0}^{1} x^2 dx = A \cdot \frac{1}{3}$。

步骤3：合并结果并解方程

$A = \frac{e - 1}{2} - \frac{1}{2} + \frac{A}{3} \implies A = \frac{e - 2}{2} + \frac{A}{3}.$

整理得：

$A - \frac{A}{3} = \frac{e - 2}{2} \implies \frac{2A}{3} = \frac{e - 2}{2} \implies A = \frac{3(e - 2)}{4} = \frac{3e - 6}{4}.$