题目
设 X, Y 相互独立，X 服从参数 (1)/(2) 的 0-1 分布，Y 服从参数 (1)/(3) 的 0-1 分布，则方程 t^2 + 2Xt + Y = 0 有相同实根的概率为().A. (1)/(3)B. (1)/(2)C. (1)/(6)D. (2)/(3)
设 $X$, $Y$ 相互独立，$X$ 服从参数 $\frac{1}{2}$ 的 0-1 分布，$Y$ 服从参数 $\frac{1}{3}$ 的 0-1 分布，则方程 $t^2 + 2Xt + Y = 0$ 有相同实根的概率为().
A. $\frac{1}{3}$
B. $\frac{1}{2}$
C. $\frac{1}{6}$
D. $\frac{2}{3}$
题目解答
答案
B. $\frac{1}{2}$
解析
步骤 1：确定方程有相同实根的条件
方程 $t^2 + 2Xt + Y = 0$ 有相同实根的条件是判别式 $\Delta = 4X^2 - 4Y = 0$，即 $X^2 = Y$。
步骤 2：计算 $X=0$ 时的概率
当 $X = 0$ 时，$Y = 0$，概率为 $P(X=0) \cdot P(Y=0) = \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} = \frac{1}{3}$。
步骤 3：计算 $X=1$ 时的概率
当 $X = 1$ 时，$Y = 1$，概率为 $P(X=1) \cdot P(Y=1) = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3} = \frac{1}{6}$。
步骤 4：计算总概率
总概率为 $\frac{1}{3} + \frac{1}{6} = \frac{1}{2}$。
方程 $t^2 + 2Xt + Y = 0$ 有相同实根的条件是判别式 $\Delta = 4X^2 - 4Y = 0$，即 $X^2 = Y$。
步骤 2：计算 $X=0$ 时的概率
当 $X = 0$ 时，$Y = 0$，概率为 $P(X=0) \cdot P(Y=0) = \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} = \frac{1}{3}$。
步骤 3：计算 $X=1$ 时的概率
当 $X = 1$ 时，$Y = 1$，概率为 $P(X=1) \cdot P(Y=1) = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3} = \frac{1}{6}$。
步骤 4：计算总概率
总概率为 $\frac{1}{3} + \frac{1}{6} = \frac{1}{2}$。