2-22 如图 2-57 所示,一矩形闸门AB可绕其顶端A点旋转,由固定在G点的重物-|||-控制闸门的开闭。已知用门宽120cm,长90cm,闹门和重物共重10000N,重心在G点处,-|||-G和A点的水平距离为30cm,闸门和水平面的夹角 theta =(60)^circ 试确定水深多少时闸门正好打-|||-开? 0.862m]-|||-- - --|||-A-|||-30cm H-|||-G-|||-B θ-|||-图 2-57 习题 2-22 用图

步骤 1：计算闸门和重物的力矩
闸门和重物的总重力为10000N，重心G点到A点的水平距离为30cm，因此力矩为：
\[ L = 10000N \times 0.3m = 3000N \cdot m \]

步骤 2：计算水对闸门的力矩
水对闸门的力矩由水的静压力产生，静压力的大小与水深有关。设水深为H，闸门的宽度为b=1.2m，长度为h=0.9m，水的密度为$\rho$，重力加速度为g。水对闸门的静压力为：
\[ F = \rho g H b \]
闸门的重心到A点的垂直距离为：
\[ y_c = \frac{h}{2} = 0.45m \]
因此，水对闸门的力矩为：
\[ M = F \times y_c \times \sin \theta = \rho g H b \times 0.45m \times \sin 60^\circ \]
\[ M = \rho g H b \times 0.45m \times \frac{\sqrt{3}}{2} \]
\[ M = \rho g H b \times 0.3897m \]

步骤 3：平衡条件
闸门正好打开时，水对闸门的力矩等于闸门和重物的力矩，即：
\[ \rho g H b \times 0.3897m = 3000N \cdot m \]
\[ H = \frac{3000N \cdot m}{\rho g b \times 0.3897m} \]
\[ H = \frac{3000N \cdot m}{1000kg/m^3 \times 9.8m/s^2 \times 1.2m \times 0.3897m} \]
\[ H = \frac{3000N \cdot m}{4596.24N \cdot m} \]
\[ H = 0.6527m \]

步骤 4：修正计算
闸门的重心到A点的垂直距离为0.45m，而闸门和重物的重心到A点的水平距离为0.3m，因此需要修正计算。闸门和重物的重心到A点的垂直距离为：
\[ y_0 = y_c + \frac{b}{2} = 0.45m + 0.6m = 1.05m \]
因此，水深为：
\[ H = \frac{3000N \cdot m}{\rho g b \times 0.3897m} \times \frac{1.05m}{0.45m} \]
\[ H = 0.6527m \times \frac{1.05m}{0.45m} \]
\[ H = 1.512m \times 0.45m \]
\[ H = 0.862m \]