题目
设方向依oy轴的负方向，且大小等于作用点的横坐标平方的力构成一力场.求质量为m的质点沿抛物线1-x=y^2，从点A(1,0)移动到点B(0,1)时力场所作的功.
设方向依$oy$轴的负方向，且大小等于作用点的横坐标平方的力构成一力场.
求质量为m的质点沿抛物线$1-x=y^{2}$，从点A(1,0)移动到点B(0,1)时力场所作的功.
题目解答
答案
力场方向为 $y$ 轴负方向，大小为 $x^2$，故力场表达式为 $\mathbf{F} = -x^2 \mathbf{j}$。
路径方程为 $x = 1 - y^2$，其中 $y$ 从 $0$ 到 $1$。
将 $x$ 代入力场表达式，得 $\mathbf{F} = -(1 - y^2)^2 \mathbf{j}$。
计算线积分：
\[
W = \int_0^1 -(1 - y^2)^2 \, dy = \int_0^1 (-1 + 2y^2 - y^4) \, dy = -\frac{15}{15} + \frac{10}{15} - \frac{3}{15} = -\frac{8}{15}
\]
**答案：** $\boxed{-\frac{8}{15}}$
解析
步骤 1：确定力场表达式
力场方向为 $y$ 轴负方向，大小为 $x^2$，故力场表达式为 $\mathbf{F} = -x^2 \mathbf{j}$。
步骤 2：确定路径方程
路径方程为 $x = 1 - y^2$，其中 $y$ 从 $0$ 到 $1$。
步骤 3：将路径方程代入力场表达式
将 $x = 1 - y^2$ 代入力场表达式，得 $\mathbf{F} = -(1 - y^2)^2 \mathbf{j}$。
步骤 4：计算线积分
计算线积分：\[ W = \int_0^1 -(1 - y^2)^2 \, dy = \int_0^1 (-1 + 2y^2 - y^4) \, dy = -\frac{1}{3} + \frac{2}{5} - \frac{1}{5} = -\frac{8}{15} \]
力场方向为 $y$ 轴负方向，大小为 $x^2$，故力场表达式为 $\mathbf{F} = -x^2 \mathbf{j}$。
步骤 2：确定路径方程
路径方程为 $x = 1 - y^2$，其中 $y$ 从 $0$ 到 $1$。
步骤 3：将路径方程代入力场表达式
将 $x = 1 - y^2$ 代入力场表达式，得 $\mathbf{F} = -(1 - y^2)^2 \mathbf{j}$。
步骤 4：计算线积分
计算线积分：\[ W = \int_0^1 -(1 - y^2)^2 \, dy = \int_0^1 (-1 + 2y^2 - y^4) \, dy = -\frac{1}{3} + \frac{2}{5} - \frac{1}{5} = -\frac{8}{15} \]