质点同时参与 x_1=4cos3t, x_2=2cos(3t-pi) 两个谐振动, 其合成的振动方程为()。A. x=2cos(3t-pi)mB. x=6cos(3t-pi)mC. x=2cos3t mD. x=6cos3t m

本题考查同方向、同频率简谐振动的合成知识。解题思路是先明确同方向、同频率简谐振动合成的公式，再根据已知条件确定各物理量的值，最后代入公式计算出合成振动的振幅和初相位，从而得到合成的振动方程。

已知两个简谐振动方程分别为$x_1 = A_1\cos(\omega t + \varphi_1)$和$x_2 = A_2\cos(\omega t + \varphi_2)$，其合成振动方程为$x = A\cos(\omega t + \varphi)$，其中合成振幅$A$的计算公式为$A = \sqrt{A_1^2 + A_2^2 + 2A_1A_2\cos(\varphi_2 - \varphi_1)}$，合成振动的初相位$\varphi$满足$\tan\varphi = \frac{A_1\sin\varphi_1 + A_2\sin\varphi_2}{A_1\cos\varphi_1 + A_2\cos\varphi_2}$。

对于本题，$x_1 = 4\cos3t$，则$A_1 = 4$，$\omega_1 = 3$，$\varphi_1 = 0$；$x_2 = 2\cos(3t - \pi)$，则$A_2 = 2$，$\omega_2 = 3$，$\varphi_2 = -\pi$。

1. 计算合成振幅$A$：
   将$A_1 = 4$，$A_2 = 2$，$\varphi_1 = 0$，$\varphi_2 = -\pi$代入合成振幅公式$A = \sqrt{A_1^2 + A_2^2 + 2A_1A_2\cos(\varphi_2 - \varphi_1)}$可得：
   $\begin{align*}A&=\sqrt{4^2 + 2^2 + 2\times 4\times 2\times\cos(-\pi - 0)}\\&=\sqrt{16 + 4 + 16\times(-1)}\\&=\sqrt{20 - 16}\\&=\sqrt{4}\\&= 2\end{align*}$
2. 计算合成振动的初相位$\varphi$：
   将$A_1 = 4$，$A_2 = 2$，$\varphi_1 = 0$，$\varphi_2 = -\pi$代入初相位公式$\tan\varphi = \frac{A_1\sin\varphi_1 + A_2\sin\varphi_2}{A_1\cos\varphi_1 + A_2\cos\varphi_2}$可得：
   $\begin{align*}\tan\varphi&=\frac{4\times\sin0 + 2\times\sin(-\pi)}{4\times\cos0 + 2\times\cos(-\pi)}\\&=\frac{0 + 0}{4\times 1 + 2\times(-1)}\\&=\frac{0}{4 - 2}\\&= 0\end{align*}$
   因为$A_1\cos\varphi_1 + A_2\cos\varphi_2 = 4\times 1 + 2\times(-1) = 2>0$，$A_1\sin\varphi_1 + A_2\sin\varphi_2 = 0$，所以$\varphi = 0$。
3. 得到合成的振动方程：
   已知$\omega = 3$，$A = 2$，$\varphi = 0$，则合成的振动方程为$x = 2\cos3t\ m$。