题目
求 iint (x)^2(e)^-(y^2)dxdy, 其中D是以(0,0 ),(1,1),(0,1 )为顶点的三角形.
题目解答
答案
解析
步骤 1：确定积分区域D
积分区域D是以(0,0), (1,1), (0,1)为顶点的三角形。这个三角形在x-y平面上，x的范围从0到1，y的范围从x到1。
步骤 2：选择积分次序
由于 $\int {e}^{-{y}^{2}}dy$ 无法用初等函数表示，所以选择先对x积分，再对y积分，即选择y型区域。
步骤 3：计算二重积分
将二重积分 $\iint {x}^{2}{e}^{-{y}^{2}}dxdy$ 转化为先对x积分，再对y积分的形式，即 $\int_{0}^{1} \int_{x}^{1} {x}^{2}{e}^{-{y}^{2}}dydx$。先对x积分，得到 $\int_{x}^{1} {x}^{2}{e}^{-{y}^{2}}dy$，再对y积分，得到 $\int_{0}^{1} {x}^{2} \int_{x}^{1} {e}^{-{y}^{2}}dydx$。
步骤 4：计算内层积分
内层积分 $\int_{x}^{1} {e}^{-{y}^{2}}dy$ 无法直接计算，但可以表示为 $\int_{x}^{1} {e}^{-{y}^{2}}dy$。外层积分 $\int_{0}^{1} {x}^{2} \int_{x}^{1} {e}^{-{y}^{2}}dydx$ 可以通过分部积分法计算。
步骤 5：计算外层积分
外层积分 $\int_{0}^{1} {x}^{2} \int_{x}^{1} {e}^{-{y}^{2}}dydx$ 可以通过分部积分法计算，设 $u = {x}^{2}$，$dv = \int_{x}^{1} {e}^{-{y}^{2}}dy$，则 $du = 2xdx$，$v = -\frac{1}{2} {e}^{-{y}^{2}}$。代入分部积分公式，得到 $\int_{0}^{1} {x}^{2} \int_{x}^{1} {e}^{-{y}^{2}}dydx = \frac{1}{6}(1-\frac{2}{e})$。
积分区域D是以(0,0), (1,1), (0,1)为顶点的三角形。这个三角形在x-y平面上，x的范围从0到1，y的范围从x到1。
步骤 2：选择积分次序
由于 $\int {e}^{-{y}^{2}}dy$ 无法用初等函数表示，所以选择先对x积分，再对y积分，即选择y型区域。
步骤 3：计算二重积分
将二重积分 $\iint {x}^{2}{e}^{-{y}^{2}}dxdy$ 转化为先对x积分，再对y积分的形式，即 $\int_{0}^{1} \int_{x}^{1} {x}^{2}{e}^{-{y}^{2}}dydx$。先对x积分，得到 $\int_{x}^{1} {x}^{2}{e}^{-{y}^{2}}dy$，再对y积分，得到 $\int_{0}^{1} {x}^{2} \int_{x}^{1} {e}^{-{y}^{2}}dydx$。
步骤 4：计算内层积分
内层积分 $\int_{x}^{1} {e}^{-{y}^{2}}dy$ 无法直接计算，但可以表示为 $\int_{x}^{1} {e}^{-{y}^{2}}dy$。外层积分 $\int_{0}^{1} {x}^{2} \int_{x}^{1} {e}^{-{y}^{2}}dydx$ 可以通过分部积分法计算。
步骤 5：计算外层积分
外层积分 $\int_{0}^{1} {x}^{2} \int_{x}^{1} {e}^{-{y}^{2}}dydx$ 可以通过分部积分法计算，设 $u = {x}^{2}$，$dv = \int_{x}^{1} {e}^{-{y}^{2}}dy$，则 $du = 2xdx$，$v = -\frac{1}{2} {e}^{-{y}^{2}}$。代入分部积分公式，得到 $\int_{0}^{1} {x}^{2} \int_{x}^{1} {e}^{-{y}^{2}}dydx = \frac{1}{6}(1-\frac{2}{e})$。