题目
13. 一电容器由两个同轴圆筒组成，内筒半径为a，外筒半径为b，长都是L，中间充满相对介电常数为εr 的各向同性场匀介质，内外筒分别带有电荷Q，设 L>>b，即可忽各边缘效应。求：(1)圆柱形电容器的电容；(2)电容器贮存的能量。
13. 一电容器由两个同轴圆筒组成，内筒半径为a，外筒半径为b，长都是L，中间充满相对介电常数为εr 的各向同性场匀介质，内外筒分别带有电荷Q，设 L>>b，即可忽各边缘效应。求：(1)圆柱形电容器的电容；(2)电容器贮存的能量。
题目解答
答案
解： 由高斯定理，两筒之间的场强QE2π ε 0εrLrba两筒间的电势差bQbUE.drlna2π ε0εrLaL∴电容CQ2π ε0εrL计算题 13 图Ul n (b)a电容器贮存能量W1CU2Q2lnb24π ε0εrLa
解析
步骤 1：计算电场强度
根据高斯定理，对于同轴圆筒电容器，电场强度E与距离r的关系为：
\[ E(r) = \frac{Q}{2\pi \varepsilon_0 \varepsilon_r L r} \]
其中，Q是电荷量，\(\varepsilon_0\)是真空介电常数，\(\varepsilon_r\)是相对介电常数，L是圆筒的长度，r是距离轴线的距离。
步骤 2：计算电势差
电势差U可以通过电场强度E对距离r的积分得到：
\[ U = \int_a^b E(r) dr = \int_a^b \frac{Q}{2\pi \varepsilon_0 \varepsilon_r L r} dr = \frac{Q}{2\pi \varepsilon_0 \varepsilon_r L} \int_a^b \frac{1}{r} dr = \frac{Q}{2\pi \varepsilon_0 \varepsilon_r L} \ln \left( \frac{b}{a} \right) \]
步骤 3：计算电容
电容C定义为电荷量Q与电势差U的比值：
\[ C = \frac{Q}{U} = \frac{Q}{\frac{Q}{2\pi \varepsilon_0 \varepsilon_r L} \ln \left( \frac{b}{a} \right)} = \frac{2\pi \varepsilon_0 \varepsilon_r L}{\ln \left( \frac{b}{a} \right)} \]
步骤 4：计算电容器贮存的能量
电容器贮存的能量W可以通过电容C和电势差U的乘积的一半得到：
\[ W = \frac{1}{2} C U^2 = \frac{1}{2} \frac{2\pi \varepsilon_0 \varepsilon_r L}{\ln \left( \frac{b}{a} \right)} \left( \frac{Q}{2\pi \varepsilon_0 \varepsilon_r L} \ln \left( \frac{b}{a} \right) \right)^2 = \frac{Q^2}{4\pi \varepsilon_0 \varepsilon_r L} \ln \left( \frac{b}{a} \right) \]
根据高斯定理，对于同轴圆筒电容器，电场强度E与距离r的关系为：
\[ E(r) = \frac{Q}{2\pi \varepsilon_0 \varepsilon_r L r} \]
其中，Q是电荷量，\(\varepsilon_0\)是真空介电常数，\(\varepsilon_r\)是相对介电常数，L是圆筒的长度，r是距离轴线的距离。
步骤 2：计算电势差
电势差U可以通过电场强度E对距离r的积分得到：
\[ U = \int_a^b E(r) dr = \int_a^b \frac{Q}{2\pi \varepsilon_0 \varepsilon_r L r} dr = \frac{Q}{2\pi \varepsilon_0 \varepsilon_r L} \int_a^b \frac{1}{r} dr = \frac{Q}{2\pi \varepsilon_0 \varepsilon_r L} \ln \left( \frac{b}{a} \right) \]
步骤 3：计算电容
电容C定义为电荷量Q与电势差U的比值：
\[ C = \frac{Q}{U} = \frac{Q}{\frac{Q}{2\pi \varepsilon_0 \varepsilon_r L} \ln \left( \frac{b}{a} \right)} = \frac{2\pi \varepsilon_0 \varepsilon_r L}{\ln \left( \frac{b}{a} \right)} \]
步骤 4：计算电容器贮存的能量
电容器贮存的能量W可以通过电容C和电势差U的乘积的一半得到：
\[ W = \frac{1}{2} C U^2 = \frac{1}{2} \frac{2\pi \varepsilon_0 \varepsilon_r L}{\ln \left( \frac{b}{a} \right)} \left( \frac{Q}{2\pi \varepsilon_0 \varepsilon_r L} \ln \left( \frac{b}{a} \right) \right)^2 = \frac{Q^2}{4\pi \varepsilon_0 \varepsilon_r L} \ln \left( \frac{b}{a} \right) \]