质量为mu的粒子在一维无限深势阱U(x)=} 0 & 0 a 中运动，其能级为A. E_n=(n^2pi^2hbar^2)/(2mu a^2)B. E_n=(n^2pi^2hbar^2)/(mu a^2)C. E_n=(2n^2pi^2hbar^2)/(mu a^2)D. E_n=(n^2pi^2hbar^2)/(4mu a^2)

考查要点：本题主要考查一维无限深势阱中粒子能级公式的记忆与理解，需要掌握边界条件对波函数的影响以及能量表达式的推导逻辑。

解题核心思路：

1. 边界条件：波函数在势阱边界（x=0和x=a）必须为零，导致波函数为驻波形式。
2. 本征方程：通过分离变量法解时间独立薛定谔方程，得到能量与量子数n、势阱宽度a的关系。
3. 关键公式：能量公式中的系数需注意分母中的2μa²和分子中的π²ħ²，避免混淆类似公式。

破题关键点：

• 明确无限深势阱中能量公式的形式，区分不同选项中系数差异（如分母是否含2，分子是否含额外系数）。

步骤1：建立势阱模型与边界条件

一维无限深势阱中，粒子在区间$0 < x < a$内自由运动，势能$U(x)=0$，其他区域势能无限大。波函数需满足：
$\psi(0) = 0, \quad \psi(a) = 0.$

步骤2：求解时间独立薛定谔方程

在区间$0 < x < a$，时间独立薛定谔方程为：
$-\frac{\hbar^2}{2\mu} \frac{d^2\psi}{dx^2} = E\psi.$
令$k^2 = \frac{2\mu E}{\hbar^2}$，通解为：
$\psi(x) = A\sin(kx) + B\cos(kx).$
代入边界条件$\psi(0)=0$得$B=0$，故$\psi(x) = A\sin(kx)$。再代入$\psi(a)=0$得：
$\sin(ka) = 0 \implies ka = n\pi \quad (n=1,2,3,\dots).$
因此，波数$k_n = \frac{n\pi}{a}$。

步骤3：确定能量表达式

将$k_n$代入$E = \frac{\hbar^2 k^2}{2\mu}$，得：
$E_n = \frac{\hbar^2 n^2 \pi^2}{2\mu a^2}.$
此即选项A的表达式。