长为L、质量为m的均匀细杆可绕过端点O的固定水平光滑轴转动,把杆抬平后无初速 地释放,杆摆至竖直位置时刚好和光滑水平桌面上的小球相碰,球的质量和杆相同。设碰撞 是弹性的,试求碰后小球获得的速度。

本题主要考察机械能守恒定律和角动量守恒定律的应用。解题思路如下：

1. 求杆摆至竖直位置时的角速度：
   • 杆从水平位置无初速释放摆至竖直位置的过程中，只有重力做功，机械能守恒。
   • 以杆的初始位置为重力势能零点，杆的重心在杆的中点，当杆摆至竖直位置时，重心下降的高度为$\frac{L}{2}$。
   • 根据机械能守恒定律$E_{p1}+E_{k1}=E_{p2}+E_{k2}$，初始时杆静止，动能$E_{k1} = 0$，重力势能$E_{p1}=mg\frac{L}{2}$；摆至竖直位置时，重力势能$E_{p2} = 0$，杆绕端点$O$转动的动能$E_{k2}=\frac{1}{2}I\omega^{2}$，其中$I$是杆绕端点$O$的转动惯量，对于均匀细杆绕一端点转动，$I = \frac{1}{3}mL^{2}$。
   • 则有$mg\frac{L}{2}=\frac{1}{2}\times\frac{1}{3}mL^{2}\omega^{2}$，化简求解$\omega$：
     $\begin{align*}mg\frac{L}{2}&=\frac{1}{6}mL^{2}\omega^{2}\\\omega^{2}&=\frac{3g}{L}\\\omega&=\sqrt{\frac{3g}{L}}\end{align*}$
2. 分析杆与小球碰撞过程：
   • 由于碰撞是弹性的，且轴$O$处有外力作用，所以系统的动量不守恒，但对轴$O$的角动量守恒，同时机械能也守恒。
   • 角动量守恒：
     设碰后杆的角速度为$\omega'$，小球的速度为$v$。碰撞前杆的角动量为$L_1 = I\omega=\frac{1}{3}mL^{2}\omega$，小球的角动量为$0$；碰撞后杆的角动量为$L_2 = I\omega'=\frac{1}{3}mL^{2}\omega'$，小球的角动量为$L_3 = m v L$。
     根据角动量守恒定律$L_1 = L_2+L_3$，可得$\frac{1}{3}mL^{2}\omega=\frac{1}{3}mL^{2}\omega'+mvL$，化简得$\frac{1}{3}L\omega=\frac{1}{3}L\omega'+v$ ①。
   • 机械能守恒：
     碰撞前系统的机械能为杆的转动动能$E_{k1}=\frac{1}{2}I\omega^{2}=\frac{1}{2}\times\frac{1}{3}mL^{2}\omega^{2}$，小球的动能为$0$；碰撞后系统的机械能为杆的转动动能$E_{k2}=\frac{1}{2}I\omega'^{2}=\frac{1}{2}\times\frac{1}{3}mL^{2}\omega'^{2}$和小球的动能$E_{k3}=\frac{1}{2}mv^{2}$。
     根据机械能守恒定律$E_{k1}=E_{k2}+E_{k3}$，可得$\frac{1}{2}\times\frac{1}{3}mL^{2}\omega^{2}=\frac{1}{2}\times\frac{1}{3}mL^{2}\omega'^{2}+\frac{1}{2}mv^{2}$，化简得$\frac{1}{3}L^{2}\omega^{2}=\frac{1}{3}L^{2}\omega'^{2}+v^{2}$ ②。
3. 联立方程求解碰后小球的速度$v$：
   由①式可得$\omega'=\omega-\frac{3v}{L}$，将其代入②式：
   $\begin{align*}\frac{1}{3}L^{2}\omega^{2}&=\frac{1}{3}L^{2}(\omega-\frac{3v}{L})^{2}+v^{2}\\\frac{1}{3}L^{2}\omega^{2}&=\frac{1}{3}L^{2}(\omega^{2}-\frac{6\omega v}{L}+\frac{9v^{2}}{L^{2}})+v^{2}\\\frac{1}{3}L^{2}\omega^{2}&=\frac{1}{3}L^{2}\omega^{2}-2L\omega v + 3v^{2}+v^{2}\\4v^{2}-2L\omega v&=0\\2v(2v - L\omega)&=0\end{align*}$
   解得$v = 0$（舍去，因为碰撞后小球有速度）或$v=\frac{1}{2}L\omega$。
   将$\omega=\sqrt{\frac{3g}{L}}$代入$v=\frac{1}{2}L\omega$，可得$v=\frac{1}{2}L\sqrt{\frac{3g}{L}}=\frac{1}{2}\sqrt{3gL}$。