题目

(a)要制作一个腔长L=60cm的对称稳定腔,反射镜的曲率半径取值范围如何?(b)稳定腔的一块反射镜的曲率半径R1=4L,求另一面镜的曲率半径取值范围。

(a)要制作一个腔长L=60cm的对称稳定腔,反射镜的曲率半径取值范围如何?(b)稳定腔的一块反射镜的曲率半径R1=4L,求另一面镜的曲率半径取值范围。

题目解答

答案

答:(a);

(b)

解析

稳定腔的条件是解题的核心。对于对称腔（两镜曲率半径相等），需满足$(1-\frac{L}{R})^2 \leq 1$；对于非对称腔，需满足$(1-\frac{L}{R_1})(1-\frac{L}{R_2}) \leq 1$且非负。关键点在于将不等式转化为关于$R$的约束，并注意曲率半径的正负对结果的影响。

(a) 对称稳定腔的曲率半径范围

  1. 对称条件：腔长$L=60\ \text{cm}$，反射镜曲率半径$R_1=R_2=R$。
  2. 稳定条件：$(1-\frac{L}{R})^2 \leq 1$。
  3. 解不等式：
    • 展开得$1-\frac{2L}{R}+\frac{L^2}{R^2} \leq 1$。
    • 化简为$\frac{L^2}{R^2}-\frac{2L}{R} \leq 0$，即$\frac{L}{R} \leq 2$。
    • 解得$R \geq \frac{L}{2} = 30\ \text{cm}$。

(b) 非对称稳定腔的曲率半径范围

  1. 已知条件：$R_1=4L=240\ \text{cm}$，需满足$(1-\frac{L}{R_1})(1-\frac{L}{R_2}) \leq 1$。
  2. 代入计算：
    • $1-\frac{L}{R_1} = 1-\frac{L}{4L} = \frac{3}{4}$。
    • 不等式变为$\frac{3}{4}(1-\frac{L}{R_2}) \leq 1$，即$1-\frac{L}{R_2} \leq \frac{4}{3}$。
  3. 分情况讨论：
    • $R_2 > 0$：$1-\frac{L}{R_2} \geq 0 \Rightarrow R_2 \geq L = 60\ \text{cm}$。
    • $R_2 < 0$：令$R_2 = -x$（$x > 0$），则$1+\frac{L}{x} \leq \frac{4}{3} \Rightarrow x \geq 3L \Rightarrow R_2 \leq -3L = -180\ \text{cm}$。