题目
一质量为 10 , (kg) 的质点在力 F 的作用下沿 x 轴作直线运动，已知 F = 120t + 40，式中 F 的单位为 N，t 的单位为 s。在 t = 0 时，质点位于 x = 5 , (m) 处，其速度 v_0 = 6 , (m) cdot (s)^-1。求质点在任意时刻的速度和位置。
一质量为 $10 \, \text{kg}$ 的质点在力 $F$ 的作用下沿 $x$ 轴作直线运动，已知 $F = 120t + 40$，式中 $F$ 的单位为 $N$，$t$ 的单位为 $s$。在 $t = 0$ 时，质点位于 $x = 5 \, \text{m}$ 处，其速度 $v_0 = 6 \, \text{m} \cdot \text{s}^{-1}$。求质点在任意时刻的速度和位置。
题目解答
答案
根据牛顿第二定律，加速度为：
\[
a = \frac{F}{m} = 12t + 4
\]
由 $ \frac{dv}{dt} = 12t + 4 $，积分得：
\[
v(t) = 6t^2 + 4t + C
\]
由初条件 $ v(0) = 6 $，得 $ C = 6 $，故：
\[
v(t) = 6t^2 + 4t + 6
\]
再由 $ \frac{dx}{dt} = v(t) $，积分得：
\[
x(t) = 2t^3 + 2t^2 + 6t + D
\]
由初条件 $ x(0) = 5 $，得 $ D = 5 $，故：
\[
x(t) = 2t^3 + 2t^2 + 6t + 5
\]
最终结果：
\[
v(t) = 6t^2 + 4t + 6 \, (\text{m/s})
\]
\[
x(t) = 2t^3 + 2t^2 + 6t + 5 \, (\text{m})
\]