5.填空题在6阶行列式中，a_(23)a_(42)a_(31)a_(56)a_(14)a_(65)这项的符号为____.（填“+”或“-”）

为了确定6阶行列式中项 $a_{23}a_{42}a_{31}a_{56}a_{14}a_{65}$ 的符号，我们需要分析该乘积中元素的排列。行列式中每一项的符号由行和列的排列的奇偶性决定。具体来说，如果行和列的排列都是偶排列，或者都是奇排列，那么项的符号为正；如果一个排列是偶排列，另一个是奇排列，那么项的符号为负。 首先，我们考虑行的排列。项 $a_{23}a_{42}a_{31}a_{56}a_{14}a_{65}$ 中元素的行索引为 $2, 4, 3, 5, 1, 6$。我们需要确定排列 $2, 4, 3, 5, 1, 6$ 的奇偶性。我们可以通过计算逆序数来做到这一点。逆序数是元素对 $(i, j)$ 的数量，其中 $i < j$ 但 $a_i > a_j$。 在排列 $2, 4, 3, 5, 1, 6$ 中： - $2$ 与 $1$ 形成逆序。 - $4$ 与 $3, 1$ 形成逆序。 - $3$ 与 $1$ 形成逆序。 - $5$ 与 $1$ 形成逆序。 - $6$ 没有形成逆序。 逆序数的总和为 $1 + 2 + 1 + 1 + 0 = 5$。由于逆序数为奇数，行的排列是奇排列。 接下来，我们考虑列的排列。项 $a_{23}a_{42}a_{31}a_{56}a_{14}a_{65}$ 中元素的列索引为 $3, 2, 1, 6, 4, 5$。我们需要确定排列 $3, 2, 1, 6, 4, 5$ 的奇偶性。 在排列 $3, 2, 1, 6, 4, 5$ 中： - $3$ 与 $2, 1$ 形成逆序。 - $2$ 与 $1$ 形成逆序。 - $6$ 与 $4, 5$ 形成逆序。 - $4$ 与 $3$ 形成逆序。 逆序数的总和为 $2 + 1 + 2 + 1 = 6$。由于逆序数为偶数，列的排列是偶排列。 由于行的排列是奇排列，列的排列是偶排列，项 $a_{23}a_{42}a_{31}a_{56}a_{14}a_{65}$ 的符号为负。 因此，答案是 $\boxed{-}$。