题目

用直流电流表测得某电流数值。直流电流表选择量程15(mA)，该表的精确度等级为0.05。五次测量结果分别为12.30、12.32、12.28、12.29和12.31(mA)。请问：（第1空）电流的平均值是____mm（给出中间结果）；（第2空）电流的平均值是____mm（给出最终结果）；（第3空）电流的A类不确定度是____mm（给出中间结果）；（第4空）电流的B类不确定度是____mm；（第5空）电流的总不确定度是____mm（最终结果）；（第6-7空）电流的不确定度表示形式是(__pm__mm；（第8空）电流的相对不确定度是____%。

用直流电流表测得某电流数值。直流电流表选择量程$15\text{mA}$，该表的精确度等级为0.05。五次测量结果分别为$12.30$、$12.32$、$12.28$、$12.29$和$12.31\text{mA}$。请问： （第1空）电流的平均值是____mm（给出中间结果）； （第2空）电流的平均值是____mm（给出最终结果）； （第3空）电流的A类不确定度是____mm（给出中间结果）； （第4空）电流的B类不确定度是____mm； （第5空）电流的总不确定度是____mm（最终结果）； （第6-7空）电流的不确定度表示形式是$(\_\_\pm\_\_$mm$； （第8空）电流的相对不确定度是____%。

题目解答

答案

1. 平均值计算： \[ \bar{I} = \frac{12.30 + 12.32 + 12.28 + 12.29 + 12.31}{5} = 12.30\,\text{mA} \] 2. A类不确定度： \[ s = \sqrt{\frac{0.0010}{4}} = 0.01581\,\text{mA}, \quad u_A = \frac{0.01581}{\sqrt{5}} \approx 0.0071\,\text{mA} \] 3. B类不确定度： \[ u_B = \frac{0.0075}{\sqrt{3}} \approx 0.0043\,\text{mA} \] 4. 总不确定度： \[ u = \sqrt{(0.0071)^2 + (0.0043)^2} \approx 0.0083\,\text{mA} \] 5. 最终结果： \[ I = (12.30 \pm 0.01)\,\text{mA} \] 6. 相对不确定度： \[ \text{相对不确定度} = \frac{0.01}{12.30} \times 100\% \approx 0.08\% \] 答案： 1. 12.30 mA 2. 12.30 mA 3. 0.0071 mA 4. 0.0043 mA 5. 0.0083 mA 6-7. (12.30 ± 0.01) mA 8. 0.08%

解析

本题主要考察了测量数据的平均值计算、不确定度（包括A类不确定度、B类不确定度和总不确定度）的计算，以及相对不确定度的计算。解题思路如下：

  1. 计算电流平均值：将多次测量的电流值相加，再除以测量次数，得到电流的平均值。
  2. 计算A类不确定度：先计算测量值的标准偏差，再根据标准偏差和测量次数计算A类不确定度。
  3. 计算B类不确定度：根据电流表的量程和精确度等级计算B类不确定度。
  4. 计算总不确定度：利用A类不确定度和B类不确定度，通过平方和开方的方法计算总不确定度。
  5. 确定最终结果：根据总不确定度的有效数字规则，对平均值和总不确定度进行修约，得到最终结果。
  6. 计算相对不确定度：用总不确定度除以平均值，再乘以$100\%$，得到相对不确定度。

具体计算过程

  1. 计算电流平均值$\bar{I}$
    已知五次测量结果分别为$I_1 = 12.30\text{mA}$、$I_2 = 12.32\text{mA}$、$I_3 = 12.28\text{mA}$、$I_4 = 12.29\text{mA}$和$I_5 = 12.31\text{mA}$，测量次数$n = 5$。
    根据平均值公式$\bar{I} = \frac{1}{n}\sum_{i = 1}^{n}I_i$，可得：
    $\begin{align*}\bar{I} &= \frac{12.30 + 12.32 + 12.28 + 12.29 + 12.31}{5}\\&= \frac{61.50}{5}\\&= 12.30\text{mA}\end{align*}$
  2. 计算A类不确定度$u_A$
    • 首先计算测量值的标准偏差$s$，根据公式$s = \sqrt{\frac{\sum_{i = 1}^{n}(I_i - \bar{I})^2}{n - 1}}$。
      计算$(I_i - \bar{I})^2$的值：
      $(12.30 - 12.30)^2 = 0$
      $(12.32 - 12.30)^2 = 0.0004$
      $(12.28 - 12.30)^2 = 0.0004$
      $(12.29 - 12.30)^2 = 0.0001$
      $(12.31 - 12.30)^2 = 0.0001$
      $\sum_{i = 1}^{5}(I_i - \bar{I})^2 = 0 + 0.0004 + 0.0004 + 0.0001 + 0.0001 = 0.0010$
      则$s = \sqrt{\frac{0.0010}{5 - 1}} = \sqrt{\frac{0.0010}{4}} = 0.01581\text{mA}$。
    • 然后计算A类不确定度$u_A$，根据公式$u_A = \frac{s}{\sqrt{n}}$，可得：
      $u_A = \frac{0.01581}{\sqrt{5}} \approx 0.0071\text{mA}$
  3. 计算B类不确定度$u_B$
    已知电流表量程$I_m = 15\text{mA}$，精确度等级为$0.05$，则最大允许误差$\Delta = I_m\times0.05\% = 15\times0.05\% = 0.0075\text{mA}$。
    假设误差服从均匀分布，B类不确定度$u_B = \frac{\Delta}{\sqrt{3}}$，可得：
    $u_B = \frac{0.0075}{\sqrt{3}} \approx 0.0043\text{mA}$
  4. 计算总不确定度$u$
    根据总不确定度公式$u = \sqrt{u_A^2 + u_B^2}$，可得：
    $\begin{align*}u &= \sqrt{(0.0071)^2 + (0.0043)^2}\\&= \sqrt{0.00005041 + 0.00001849}\\&= \sqrt{0.0000689}\\&\approx 0.0083\text{mA}\end{align*}$
  5. 确定最终结果
    根据有效数字规则，总不确定度一般只保留一位有效数字，所以$u\approx0.01\text{mA}$。
    则电流的最终结果表示为$I = (12.30 \pm 0.01)\text{mA}$。
  6. 计算相对不确定度$E$
    根据相对不确定度公式$E = \frac{u}{\bar{I}}\times100\%$，可得：
    $E = \frac{0.01}{12.30} \times 100\% \approx 0.08\%$