题目

题型说明:每题3分，共90分 5. (3.0分) int_(-1)^1(x^3cos x)/(1+x^4)dx=( ). A. -1 B. 2 C. 0 D. 1

题型说明:每题3分，共90分 5. (3.0分) $\int_{-1}^{1}\frac{x^{3}\cos x}{1+x^{4}}dx=( )$.
A. -1
B. 2
C. 0
D. 1

题目解答

答案

设 $f(x) = \frac{x^3 \cos x}{1+x^4}$，则 \[ f(-x) = \frac{(-x)^3 \cos(-x)}{1+(-x)^4} = \frac{-x^3 \cos x}{1+x^4} = -f(x), \] 故 $f(x)$ 为奇函数。根据奇函数在对称区间上的积分性质， \[ \int_{-1}^{1} f(x) \, dx = 0. \] 因此，答案为 $\boxed{C}$。

解析

考查要点：本题主要考查定积分的奇偶性性质的应用，以及奇函数在对称区间上的积分特性。

解题核心思路：

  1. 判断被积函数的奇偶性：将被积函数中的变量替换为$-x$，观察是否满足奇函数或偶函数的定义。
  2. 利用对称区间积分性质：若被积函数为奇函数，则积分结果为$0$；若为偶函数，则可转化为两倍的单边积分。

破题关键点：

  • 奇函数的定义：$f(-x) = -f(x)$。
  • 对称区间积分性质：$\int_{-a}^{a} f(x) \, dx = 0$（当$f(x)$为奇函数时）。

设被积函数为$f(x) = \frac{x^3 \cos x}{1+x^4}$，需判断其奇偶性：

  1. 计算$f(-x)$：
    $f(-x) = \frac{(-x)^3 \cos(-x)}{1+(-x)^4} = \frac{-x^3 \cos x}{1+x^4} = -f(x)$
    其中，$\cos(-x) = \cos x$（余弦为偶函数），$(-x)^4 = x^4$。

  2. 结论：
    $f(-x) = -f(x)$，说明$f(x)$是奇函数。

  3. 应用积分性质：
    根据奇函数在对称区间$[-1, 1]$上的积分性质，有：
    $\int_{-1}^{1} f(x) \, dx = 0$