一定滑轮半径为R，质量为M，用一质量不计的绳绕在滑轮上，另一端系一质量为m的物体并由静止释放，这时滑轮的角加速度为β1，若不系物体而用一力F=mg拉绳子使滑轮转动，这时角加速度为β2，这时有A. β1=β2B. β1 C. β1>β2D. 无法判断

本题考查刚体定轴转动定律以及牛顿第二定律的综合应用。解题的关键在于分别分析两种情况下滑轮所受的合外力矩，再根据刚体定轴转动定律求出角加速度，最后比较两个角加速度的大小。

情况一：物体由静止释放时

• 对物体进行受力分析：物体受重力 $mg$ 和绳子的拉力 $T_1$，根据牛顿第二定律可得 $mg - T_1 = ma_1$，其中 $a_1$ 是物体的线加速度。
• 对滑轮进行受力分析：滑轮受到绳子的拉力 $T_1$ 产生的力矩，根据刚体定轴转动定律 $M = I\beta$（其中 $M$ 是合外力矩，$I$ 是转动惯量，$\beta$ 是角加速度），对于定滑轮，其转动惯量 $I = \frac{1}{2}MR^2$，合外力矩 $M_1 = T_1R$，所以 $T_1R = \frac{1}{2}MR^2\beta_1$。
• 线加速度与角加速度的关系：由于绳子与滑轮之间无相对滑动，所以 $a_1 = R\beta_1$。
• 联立方程求解：
  • 由 $mg - T_1 = ma_1$ 和 $a_1 = R\beta_1$ 可得 $mg - T_1 = mR\beta_1$。
  • 又因为 $T_1R = \frac{1}{2}MR^2\beta_1$，即 $T_1 = \frac{1}{2}MR\beta_1$。
  • 将 $T_1 = \frac{1}{2}MR\beta_1$ 代入 $mg - T_1 = mR\beta_1$ 中，得到 $mg - \frac{1}{2}MR\beta_1 = mR\beta_1$。
  • 移项可得 $mg = mR\beta_1 + \frac{1}{2}MR\beta_1 = (m + \frac{1}{2}M)R\beta_1$。
  • 解得 $\beta_1 = \frac{mg}{(m + \frac{1}{2}M)R}$。

情况二：用一力 $F = mg$ 拉绳子时

• 对滑轮进行受力分析：滑轮受到拉力 $F = mg$ 产生的力矩，合外力矩 $M_2 = FR = mgR$。
• 根据刚体定轴转动定律求解角加速度：由 $M_2 = I\beta_2$，即 $mgR = \frac{1}{2}MR^2\beta_2$。
• 求解 $\beta_2$：
  • 化简可得 $\beta_2 = \frac{mg}{\frac{1}{2}MR}$。

比较 $\beta_1$ 和 $\beta_2$ 的大小

因为 $\beta_1 = \frac{mg}{(m + \frac{1}{2}M)R}$，$\beta_2 = \frac{mg}{\frac{1}{2}MR}$，分母 $(m + \frac{1}{2}M)R > \frac{1}{2}MR$，分子相同，所以 $\beta_1 < \beta_2$。