22.(1)设随机变量X 1,X2,X3,X4相互独立,且有 ((X)_(i))=i ,((X)_(i))=5-i i=1 ,2,3,4.设 Y=-|||-.(X)_(1)-(X)_(2)+3(X)_(3)-dfrac (1)(2)(X)_(4) .求E(Y),D(Y).-|||-(2)设随机变量X,Y相互独立,且 sim N(720,(30)^2) ,sim N((640,25)^2) ,求 _(1)=2X+Y ,_(2)=-|||-X-Y 的分布,并求概率 Xgt Y , X+Ygt 1400 。
题目解答
答案
解析
（1）期望与方差的线性性质
本题考查线性变换下期望与方差的计算。
- 期望的线性性：无论变量是否独立，$E(aX + bY) = aE(X) + bE(Y)$。
- 方差的可加性：若变量独立，则$D(aX + bY) = a^2D(X) + b^2D(Y)$。
（2）正态分布的线性组合与概率计算
本题考查正态分布的性质及标准化求概率。
- 线性组合仍为正态分布：若$X \sim N(\mu_1, \sigma_1^2)$，$Y \sim N(\mu_2, \sigma_2^2)$，则$aX + bY \sim N(a\mu_1 + b\mu_2, a^2\sigma_1^2 + b^2\sigma_2^2)$。
- 概率计算：通过标准化转化为标准正态分布，利用$\Phi(z)$表查值。
第（1）题
计算期望$E(Y)$
根据期望的线性性：
$\begin{aligned}E(Y) &= 2E(X_1) - E(X_2) + 3E(X_3) - \frac{1}{2}E(X_4) \\&= 2 \times 1 - 2 + 3 \times 3 - \frac{1}{2} \times 4 \\&= 2 - 2 + 9 - 2 = 7.\end{aligned}$
计算方差$D(Y)$
因$X_i$独立，方差可加：
$\begin{aligned}D(Y) &= 2^2D(X_1) + (-1)^2D(X_2) + 3^2D(X_3) + \left(-\frac{1}{2}\right)^2D(X_4) \\&= 4 \times (5-1) + 1 \times (5-2) + 9 \times (5-3) + \frac{1}{4} \times (5-4) \\&= 16 + 3 + 18 + 0.25 = 37.25.\end{aligned}$
第（2）题
求$Z_1=2X+Y$的分布
均值：
$E(Z_1) = 2E(X) + E(Y) = 2 \times 720 + 640 = 2080.$
方差：
$D(Z_1) = (2)^2 \times 30^2 + (1)^2 \times 25^2 = 4 \times 900 + 625 = 4225.$
故$Z_1 \sim N(2080, 4225)$。
求$Z_2=X-Y$的分布
均值：
$E(Z_2) = E(X) - E(Y) = 720 - 640 = 80.$
方差：
$D(Z_2) = 30^2 + 25^2 = 900 + 625 = 1525.$
故$Z_2 \sim N(80, 1525)$。
求$P\{X > Y\}$
等价于$P\{Z_2 > 0\}$，标准化后：
$P\left\{ \frac{Z_2 - 80}{\sqrt{1525}} > \frac{0 - 80}{\sqrt{1525}} \right\} = P\{Z > -2.05\} = 1 - \Phi(-2.05) \approx 1 - 0.0197 = 0.9803.$
求$P\{X + Y > 1400\}$
构造$X + Y \sim N(720 + 640, 30^2 + 25^2) = N(1360, 1525)$，标准化后：
$P\left\{ \frac{X + Y - 1360}{\sqrt{1525}} > \frac{1400 - 1360}{\sqrt{1525}} \right\} = P\{Z > 1.024\} = 1 - \Phi(1.02) \approx 1 - 0.8461 = 0.1539.$