题目
8-7有两根相距为d的无限长平行直导线,它们通以大小相等流向相反的电流,且电流均以d的变化率增长,若有一边长为d的正方形线圈与两导线处于同一平面内,如图所示.求线圈中的感应电动势.
8-7有两根相距为d的无限长平行直导线,它们通以大小相等流向相反的电
流,且电流均以d
的变化率增长,若有一边长为d的正方形线圈与两导线处于
同一平面内,如图所示.求线圈中的感应电动势.
题目解答
答案
解析
步骤 1：确定磁通量的计算方法
由于回路处在非均匀磁场中，磁通量需要通过积分计算。建立坐标系，设两导线分别位于x轴上的x=0和x=d处，线圈位于x轴上，边长为d，位于x=0到x=d之间。由于磁场仅与x有关，即B=B(x)，因此可以取一个平行于长直导线的宽为dx、长为d的面元dS，如图中阴影部分所示，则dS=ddx。
步骤 2：计算磁通量
穿过面元dS的磁通量为dΦ=B(x)dS，其中B(x)为两无限长直电流单独存在时产生的磁感强度B1与B2之和。根据毕奥-萨伐尔定律，两导线产生的磁场分别为：
\[ B_1(x) = \frac{\mu_0 I}{2\pi x} \]
\[ B_2(x) = \frac{\mu_0 I}{2\pi (d-x)} \]
因此，总磁场为：
\[ B(x) = B_1(x) - B_2(x) = \frac{\mu_0 I}{2\pi} \left( \frac{1}{x} - \frac{1}{d-x} \right) \]
总磁通量为：
\[ \Phi = \int_{0}^{d} B(x) dS = \int_{0}^{d} \frac{\mu_0 I}{2\pi} \left( \frac{1}{x} - \frac{1}{d-x} \right) ddx \]
\[ \Phi = \frac{\mu_0 I d}{2\pi} \int_{0}^{d} \left( \frac{1}{x} - \frac{1}{d-x} \right) dx \]
\[ \Phi = \frac{\mu_0 I d}{2\pi} \left[ \ln x + \ln (d-x) \right]_{0}^{d} \]
\[ \Phi = \frac{\mu_0 I d}{2\pi} \ln \left( \frac{d}{0} \right) \]
由于对数函数在x=0处发散，因此需要考虑实际的物理情况，即电流变化率导致的磁场变化。因此，磁通量的变化率为：
\[ \frac{d\Phi}{dt} = \frac{\mu_0 d}{2\pi} \frac{dI}{dt} \ln \left( \frac{d}{0} \right) \]
步骤 3：计算感应电动势
根据法拉第电磁感应定律，感应电动势为：
\[ E = -\frac{d\Phi}{dt} = -\frac{\mu_0 d}{2\pi} \frac{dI}{dt} \ln \left( \frac{d}{0} \right) \]
由于对数函数在x=0处发散，因此需要考虑实际的物理情况，即电流变化率导致的磁场变化。因此，感应电动势为：
\[ E = -\frac{\mu_0 d}{2\pi} \frac{dI}{dt} \ln \left( \frac{d}{0} \right) \]
由于回路处在非均匀磁场中，磁通量需要通过积分计算。建立坐标系，设两导线分别位于x轴上的x=0和x=d处，线圈位于x轴上，边长为d，位于x=0到x=d之间。由于磁场仅与x有关，即B=B(x)，因此可以取一个平行于长直导线的宽为dx、长为d的面元dS，如图中阴影部分所示，则dS=ddx。
步骤 2：计算磁通量
穿过面元dS的磁通量为dΦ=B(x)dS，其中B(x)为两无限长直电流单独存在时产生的磁感强度B1与B2之和。根据毕奥-萨伐尔定律，两导线产生的磁场分别为：
\[ B_1(x) = \frac{\mu_0 I}{2\pi x} \]
\[ B_2(x) = \frac{\mu_0 I}{2\pi (d-x)} \]
因此，总磁场为：
\[ B(x) = B_1(x) - B_2(x) = \frac{\mu_0 I}{2\pi} \left( \frac{1}{x} - \frac{1}{d-x} \right) \]
总磁通量为：
\[ \Phi = \int_{0}^{d} B(x) dS = \int_{0}^{d} \frac{\mu_0 I}{2\pi} \left( \frac{1}{x} - \frac{1}{d-x} \right) ddx \]
\[ \Phi = \frac{\mu_0 I d}{2\pi} \int_{0}^{d} \left( \frac{1}{x} - \frac{1}{d-x} \right) dx \]
\[ \Phi = \frac{\mu_0 I d}{2\pi} \left[ \ln x + \ln (d-x) \right]_{0}^{d} \]
\[ \Phi = \frac{\mu_0 I d}{2\pi} \ln \left( \frac{d}{0} \right) \]
由于对数函数在x=0处发散，因此需要考虑实际的物理情况，即电流变化率导致的磁场变化。因此，磁通量的变化率为：
\[ \frac{d\Phi}{dt} = \frac{\mu_0 d}{2\pi} \frac{dI}{dt} \ln \left( \frac{d}{0} \right) \]
步骤 3：计算感应电动势
根据法拉第电磁感应定律，感应电动势为：
\[ E = -\frac{d\Phi}{dt} = -\frac{\mu_0 d}{2\pi} \frac{dI}{dt} \ln \left( \frac{d}{0} \right) \]
由于对数函数在x=0处发散，因此需要考虑实际的物理情况，即电流变化率导致的磁场变化。因此，感应电动势为：
\[ E = -\frac{\mu_0 d}{2\pi} \frac{dI}{dt} \ln \left( \frac{d}{0} \right) \]