题目

求函数z=x^2+y^2在附加条件xy=1下的极值，下面正确的是____。 A. 在点(1,1)处取极小值2B. 在点(1,-1)处取极小值2C. 在点(1,1)处取极大值2D. 在点(1,-1)处取极大值2

求函数$z=x^2+y^2$在附加条件$xy=1$下的极值，下面正确的是____。

  • A. 在点$(1,1)$处取极小值2
  • B. 在点$(1,-1)$处取极小值2
  • C. 在点$(1,1)$处取极大值2
  • D. 在点$(1,-1)$处取极大值2

题目解答

答案

为了求函数 $ z = x^2 + y^2 $ 在附加条件 $ xy = 1 $ 下的极值，我们可以使用拉格朗日乘数法。拉格朗日乘数法的基本思想是引入一个新变量（拉格朗日乘数），将约束优化问题转化为无约束优化问题。 首先，定义拉格朗日函数： \[ \mathcal{L}(x, y, \lambda) = x^2 + y^2 + \lambda (1 - xy) \] 接下来，我们需要找到拉格朗日函数的梯度并将其设为零： \[ \nabla \mathcal{L} = \left( \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial x}, \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial y}, \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \lambda} \right) = (2x - \lambda y, 2y - \lambda x, 1 - xy) \] 将梯度设为零，得到以下方程组： 1. $ 2x - \lambda y = 0 $ 2. $ 2y - \lambda x = 0 $ 3. $ 1 - xy = 0 $ 从第一个方程解出 $ \lambda $： \[ \lambda = \frac{2x}{y} \] 从第二个方程解出 $ \lambda $： \[ \lambda = \frac{2y}{x} \] 将这两个表达式设为相等： \[ \frac{2x}{y} = \frac{2y}{x} \] 交叉相乘得到： \[ 2x^2 = 2y^2 \] \[ x^2 = y^2 \] \[ x = \pm y \] 将 $ x = y $ 代入约束条件 $ xy = 1 $： \[ x^2 = 1 \] \[ x = \pm 1 \] 因此，我们得到两个点： $ (1, 1) $ 和 $ (-1, -1) $ 将 $ x = -y $ 代入约束条件 $ xy = 1 $： \[ -x^2 = 1 \] 这个方程没有实数解，因此我们 discard $ x = -y $ 的情况。 现在，我们检查 $ (1, 1) $ 和 $ (-1, -1) $ 两个点的函数值： \[ z(1, 1) = 1^2 + 1^2 = 2 \] \[ z(-1, -1) = (-1)^2 + (-1)^2 = 2 \] 为了确定这些点是极小值还是极大值，我们可以使用二阶导数测试。首先，计算 $ z $ 的二阶偏导数： \[ \frac{\partial^2 z}{\partial x^2} = 2 \] \[ \frac{\partial^2 z}{\partial y^2} = 2 \] \[ \frac{\partial^2 z}{\partial x \partial y} = 0 \] 在点 $ (1, 1) $ 和 $ (-1, -1) $ 处，Hessian 矩阵为： \[ H = \begin{bmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 2 \end{bmatrix} \] Hessian 矩阵的行列式为： \[ \det(H) = 4 \] 由于 $ \det(H) > 0 $ 且 $ \frac{\partial^2 z}{\partial x^2} > 0 $，Hessian 矩阵正定，因此 $ (1, 1) $ 和 $ (-1, -1) $ 都是极小值点。 因此，函数 $ z = x^2 + y^2 $ 在附加条件 $ xy = 1 $ 下的极小值为 2，且在点 $ (1, 1) $ 和 $ (-1, -1) $ 处取得。 根据选项，正确答案是： \[ \boxed{A} \]

解析

本题考查利用拉格朗日乘数法求条件极值以及通过二阶导数测试判断极值类型。解题思路如下：

  1. 定义拉格朗日函数：将目标函数和约束条件组合成一个新的函数，引入拉格朗日乘数$\lambda$。
  2. 求偏导数并建立方程组：对拉格朗日函数分别求关于$x$、$y$和$\lambda$的偏导数，并令其等于$0$，得到一个方程组。
  3. 解方程组：通过求解方程组，找出可能的极值点。
  4. 计算函数值：将可能的极值点代入目标函数，计算对应的函数值。
  5. 二阶导数测试：计算目标函数的二阶偏导数，构建Hessian矩阵，通过判断Hessian矩阵的正定性来确定是极小值还是极大值。

下面进行详细的解答：

  1. 定义拉格朗日函数：
    已知目标函数$z = x^2 + y^2$，约束条件$xy = 1$，定义拉格朗日函数$\mathcal{L}(x, y, \lambda) = x^2 + y^2 + \lambda (1 - xy)$。
  2. 求偏导数并建立方程组：
    对$\mathcal{L}(x, y, \lambda)$分别求偏导数：
    $\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial x}=2x - \lambda y$
    $\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial y}=2y - \lambda x$
    $\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \lambda}=1 - xy$
    令$\nabla \mathcal{L} = \left( \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial x}, \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial y}, \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \lambda} \right) = (0, 0, 0)$，得到方程组：
    $\begin{cases}2x - \lambda y = 0&(1)\\2y - \lambda x = 0&(2)\\1 - xy = 0&(3)\end{cases}$
  3. 解方程组：
    由$(1)$式可得$\lambda = \frac{2x}{y}$，由$(2)$式可得$\lambda = \frac{2y}{x}$，则$\frac{2x}{y} = \frac{2y}{x}$，交叉相乘得$2x^2 = 2y^2$，即$x^2 = y^2$，所以$x = \pm y$。
    • 当$x = y$时，代入$(3)$式$xy = 1$，可得$x^2 = 1$，解得$x = \pm 1$，对应的点为$(1, 1)$和$(-1, -1)$。
    • 当$x = -y$时，代入$(3)$式$xy = 1$，可得$-x^2 = 1$，此方程无实数解，舍去。
  4. 计算函数值：
    将$(1, 1)$和$(-1, -1)$代入目标函数$z = x^2 + y^2$：
    $z(1, 1) = 1^2 + 1^2 = 2$
    $z(-1, -1) = (-1)^2 + (-1)^2 = 2$
  5. 二阶导数测试：
    计算$z$的二阶偏导数：
    $\frac{\partial^2 z}{\partial x^2} = 2$
    $\frac{\partial^2 z}{\partial y^2} = 2$
    $\frac{\partial^2 z}{\partial x \partial y} = 0$
    在点$(1, 1)$和$(-1, -1)$处，Hessian矩阵为$H = \begin{bmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 2 \end{bmatrix}$。
    计算Hessian矩阵的行列式$\det(H) = 2\times2 - 0\times0 = 4$，因为$\det(H) > 0$且$\frac{\partial^2 z}{\partial x^2} > 0$，所以Hessian矩阵正定，$(1, 1)$和$(-1, -1)$都是极小值点。