无限远处为电势零点。(1)运用高斯定理证明金属球壳内表面的电量-q;(2)求出金属球壳外表面的电量为多少; (3)运用叠加原理求出球心处的电势。

考查要点：本题主要考查高斯定理在导体静电平衡中的应用、导体壳内外电荷分布规律，以及电势的叠加原理。

解题核心思路：

1. 高斯定理：利用导体内部场强为零的性质，通过高斯定理确定内表面电荷量。
2. 电荷守恒：结合导体总电荷量，推导外表面电荷量。
3. 电势叠加：分别计算内外表面电荷在球心产生的电势，再求和。

破题关键点：

• 导体静电平衡时，内部场强为零，高斯面内的总电荷为零。
• 内表面电荷与内部电荷等量异号，外表面电荷由总电荷守恒确定。
• 电势是标量，需代数叠加，注意不同电荷产生的电势贡献。

第（1）题：证明内表面电量为$-q$

应用高斯定理

在金属球壳内部作一个与球壳同心的高斯面，根据高斯定理：
$\oint \mathbf{E} \cdot d\mathbf{S} = \frac{q_{\text{in}}}{\varepsilon_0}$
由于金属壳内部场强$\mathbf{E}=0$，故：
$q_{\text{in}} = 0$

分析电荷分布

设金属球壳内表面带电$q_{\text{inner}}$，内部存在电荷$q$，则高斯面内的总电荷为：
$q_{\text{in}} = q + q_{\text{inner}} = 0$
解得：
$q_{\text{inner}} = -q$

第（2）题：求外表面电量

电荷守恒

金属球壳总电荷$Q$等于内表面与外表面电荷之和：
$Q = q_{\text{inner}} + q_{\text{outer}}$
代入$q_{\text{inner}} = -q$，得：
$q_{\text{outer}} = Q - (-q) = Q + q$

第（3）题：求球心处的电势

内表面电荷的贡献

内表面电荷$-q$在球心处产生的电势为：
$U_1 = \frac{k(-q)}{R_1} = -\frac{kq}{R_1}$

外表面电荷的贡献

外表面电荷$q_{\text{outer}} = Q + q$在球心处产生的电势为：
$U_2 = \frac{k(Q + q)}{R_2}$

总电势叠加

球心处总电势为：
$U = U_1 + U_2 = -\frac{kq}{R_1} + \frac{k(Q + q)}{R_2}$