1 R M-|||-P L a-|||-() 1.-|||-b ∠-- ≤Q1 ,-|||-do 0-|||-O`-|||-θ-c N-|||-θ Q4 ．如图所示，平行长直光滑固定的金属导轨 MN 、 PQ 平面与水平面的夹角 θ ＝ 30° ，导轨间距为 L ＝ 0.5m ，上端接有 R ＝ 3Ω 的电阻，在导轨中间加一垂直轨道平面向下的匀强磁场，磁场区域为 OO ′ O 1 ′ O 1 ，磁感应强度大小为 B ＝ 2T ，磁场区域宽度为 d ＝ 0.4m ，放在导轨上的一金属杆 ab 质量为 m ＝ 0.08kg 、电阻为 r ＝ 2Ω ，从距磁场上边缘 d 0 处由静止释放，金属杆进入磁场上边缘的速度 v ＝ 2m/s. 导轨的电阻可忽略不计，杆在运动过程中始终与导轨垂直且两端与导轨保持良好接触，重力加速度大小为 g ＝ 10m/s 2 ，求： （1）金属杆距磁场上边缘的距离d0； （2）通过磁场区域的过程中通过金属杆的电荷量q； （3）金属杆通过磁场区域的过程中电阻R上产生的焦耳热QR.

考查要点：本题综合考查电磁感应中的能量转化、动量定理、焦耳热计算等知识点，涉及动能定理、欧姆定律、法拉第电磁感应定律的应用。

解题思路：

1. 第（1）问：利用动能定理，金属杆下滑过程中重力做功转化为动能，通过速度求解下滑距离。
2. 第（2）问：根据磁通量变化计算电荷量，公式为$q = \frac{\Delta \Phi}{R+r}$。
3. 第（3）问：通过能量守恒，金属杆匀速运动时安培力做功转化为焦耳热，按电阻比例分配求解。

破题关键：

• 第（1）问：明确高度变化与下滑距离的关系$h = d_0 \sin \theta$。
• 第（2）问：磁通量变化量$\Delta \Phi = B L d$。
• 第（3）问：判断杆在磁场中匀速运动，安培力等于重力分力，总热量按电阻比例分配。

第（1）题

应用动能定理

金属杆下滑过程中，重力做功转化为动能：
$m g h = \frac{1}{2} m v^2$
其中$h = d_0 \sin \theta$，代入得：
$d_0 = \frac{v^2}{2 g \sin \theta}$
代入$v=2 \, \text{m/s}$，$g=10 \, \text{m/s}^2$，$\sin 30^\circ = 0.5$：
$d_0 = \frac{2^2}{2 \cdot 10 \cdot 0.5} = 0.4 \, \text{m}$

第（2）题

计算磁通量变化

金属杆通过磁场时，磁通量变化为：
$\Delta \Phi = B L d$

求电荷量

根据$q = \frac{\Delta \Phi}{R + r}$，代入$B=2 \, \text{T}$，$L=0.5 \, \text{m}$，$d=0.4 \, \text{m}$，$R=3 \, \Omega$，$r=2 \, \Omega$：
$q = \frac{2 \cdot 0.5 \cdot 0.4}{3 + 2} = 0.08 \, \text{C}$

第（3）题

判断运动状态

金属杆进入磁场后，安培力$F = \frac{B^2 L^2 v}{R + r}$与重力分力$m g \sin \theta$相等，匀速运动。

计算总热量

总热量$Q_{\text{总}} = F \cdot d = \frac{B^2 L^2 v d}{R + r}$，代入数据：
$Q_{\text{总}} = \frac{2^2 \cdot 0.5^2 \cdot 2 \cdot 0.4}{5} = 0.16 \, \text{J}$

分配焦耳热

电阻$R$产生的热量：
$Q_R = Q_{\text{总}} \cdot \frac{R}{R + r} = 0.16 \cdot \frac{3}{5} = 0.096 \, \text{J}$