3.设总体X的概率密度函数为-|||-(x;theta )= ) (e)^-(x-theta ) xgeqslant theta 0 其他 .-|||-X1,X2,···,xn是来自该总体X的一个样本,试求参数θ的矩估计量和极大似然估计量.

步骤 1：求解矩估计量
为了求解参数θ的矩估计量，我们首先需要计算总体X的期望值E(X)。根据给定的概率密度函数，我们有：
$$
E(X) = \int_{\theta}^{\infty} x e^{-(x-\theta)} dx
$$
步骤 2：计算期望值E(X)
我们可以通过分部积分法计算上述积分。设u=x，dv=e^{-(x-\theta)}dx，则du=dx，v=-e^{-(x-\theta)}。因此，我们有：
$$
E(X) = \left[-xe^{-(x-\theta)}\right]_{\theta}^{\infty} + \int_{\theta}^{\infty} e^{-(x-\theta)} dx
$$
$$
E(X) = 0 + \left[-e^{-(x-\theta)}\right]_{\theta}^{\infty}
$$
$$
E(X) = 0 + 1 = 1
$$
步骤 3：求解矩估计量
根据矩估计量的定义，我们令E(X)等于样本均值$\overline{X}$，即：
$$
E(X) = \overline{X}
$$
$$
1 = \overline{X}
$$
$$
\theta + 1 = \overline{X}
$$
$$
\hat{\theta} = \overline{X} - 1
$$
步骤 4：求解极大似然估计量
为了求解参数θ的极大似然估计量，我们首先需要写出似然函数L(θ)。根据给定的概率密度函数，我们有：
$$
L(\theta) = \prod_{i=1}^{n} f(x_i; \theta) = \prod_{i=1}^{n} e^{-(x_i - \theta)} = e^{-\sum_{i=1}^{n} (x_i - \theta)}
$$
步骤 5：计算对数似然函数
为了简化计算，我们对似然函数取对数，得到对数似然函数：
$$
\ln L(\theta) = -\sum_{i=1}^{n} (x_i - \theta)
$$
步骤 6：求解极大似然估计量
为了求解极大似然估计量，我们需要对对数似然函数求导，并令导数等于0。然而，由于对数似然函数的导数为常数n，因此我们无法通过求导来求解极大似然估计量。在这种情况下，我们可以使用顺序统计量的方法来求解极大似然估计量。根据给定的概率密度函数，我们有：
$$
x_i > \theta \quad (1 \leq i \leq n)
$$
因此，我们可以取θ的极大似然估计值为样本中的最小值，即：
$$
\hat{\theta} = x_{(1)}
$$