轻型飞机以v0的速度在水平跑道上着陆后驾驶员开始制动,若阻力使飞机所产生的加速度与时间成正比,即a=-kt,其中比例系数k是大于零的常量,试求:(1)着陆t秒后飞机的速度v(t);(2)在此t秒内飞机滑行的距离。

考查要点：本题主要考查变加速度运动的速度和位移的计算，涉及积分的应用。

解题思路：

1. 加速度与时间的关系：已知加速度$a = -kt$，需通过积分求速度。
2. 速度计算：速度是加速度对时间的积分，结合初始条件$v(0) = v_0$。
3. 位移计算：位移是速度对时间的积分，需再次积分速度表达式。

关键点：

• 积分法：变加速度问题需通过积分求解速度和位移。
• 初始条件：确定积分常数。

第（1）题：求速度$v(t)$

根据加速度定义积分

速度$v(t)$是加速度$a(t)$的积分：
$v(t) = v_0 + \int_0^t a(\tau) \, d\tau = v_0 + \int_0^t (-k\tau) \, d\tau$

计算积分

$\int_0^t (-k\tau) \, d\tau = -k \cdot \frac{t^2}{2} = -\frac{1}{2}kt^2$

得出结果

$v(t) = v_0 - \frac{1}{2}kt^2$

第（2）题：求滑行距离$x(t)$

根据速度定义积分

位移$x(t)$是速度$v(t)$的积分：
$x(t) = \int_0^t v(\tau) \, d\tau = \int_0^t \left( v_0 - \frac{1}{2}k\tau^2 \right) d\tau$

分项积分

$\int_0^t v_0 \, d\tau = v_0 t, \quad \int_0^t \frac{1}{2}k\tau^2 \, d\tau = \frac{1}{2}k \cdot \frac{t^3}{3} = \frac{1}{6}kt^3$

合并结果

$x(t) = v_0 t - \frac{1}{6}kt^3$