题目
设有界曲面S:z=x+2y在xOy,yOz,zOx坐标面上的投影分别为D_(xy),D_(yz),D_(zx) 则下列曲面积分转化为重积分公式错误的是(). A. iint_(S)f(x,y,z)mathrm(d)S=iint_(D_{yz)}f(z-2y,y,z)sqrt(6)mathrm(d)ymathrm(d)zB. iint_(S)f(x,y,z)mathrm(d)S=iint_(D_{xy)}f(x,y,x+2y)sqrt(6)mathrm(d)xmathrm(d)yC. iint_(S)f(x,y,z)mathrm(d)S=iint_(D_{zx)}f(x,(z-x)/(2),z)sqrt((3)/(2))mathrm(d)zmathrm(d)xD. iint_(S)f(x,y,z)mathrm(d)S=iint_(D_{zx)}f(x,(z-x)/(2),z)sqrt(6)mathrm(d)zmathrm(d)x
设有界曲面$S:z=x+2y$在$xOy$,$yOz$,$zOx$坐标面上的投影分别为$D_{xy}$,$D_{yz}$,$D_{zx}$
则下列曲面积分转化为重积分公式错误的是().
- A. $\iint_{S}f(x,y,z)\mathrm{d}S=\iint_{D_{yz}}f(z-2y,y,z)\sqrt{6}\mathrm{d}y\mathrm{d}z$
- B. $\iint_{S}f(x,y,z)\mathrm{d}S=\iint_{D_{xy}}f(x,y,x+2y)\sqrt{6}\mathrm{d}x\mathrm{d}y$
- C. $\iint_{S}f(x,y,z)\mathrm{d}S=\iint_{D_{zx}}f(x,\frac{z-x}{2},z)\sqrt{\frac{3}{2}}\mathrm{d}z\mathrm{d}x$
- D. $\iint_{S}f(x,y,z)\mathrm{d}S=\iint_{D_{zx}}f(x,\frac{z-x}{2},z)\sqrt{6}\mathrm{d}z\mathrm{d}x$
题目解答
答案
为了确定哪个曲面积分转化为重积分的公式是错误的，我们需要分析每个选项并检查曲面积分到重积分的转换是否正确。
给定的曲面是 $ S: z = x + 2y $。曲面 $ S $ 的法向量可以通过对 $ z $ 关于 $ x $ 和 $ y $ 求偏导数来找到：
\[ \frac{\partial z}{\partial x} = 1, \quad \frac{\partial z}{\partial y} = 2. \]
曲面元素 $ dS $ 由下式给出：
\[ dS = \sqrt{1 + \left( \frac{\partial z}{\partial x} \right)^2 + \left( \frac{\partial z}{\partial y} \right)^2} \, dA = \sqrt{1 + 1^2 + 2^2} \, dA = \sqrt{6} \, dA, \]
其中 $ dA $ 是在 $ xy $-平面上的面积元素。
### 选项 B
曲面积分在 $ xy $-平面上的投影是：
\[ \iint_S f(x, y, z) \, dS = \iint_{D_{xy}} f(x, y, x + 2y) \sqrt{6} \, dxdy. \]
这是正确的，因为 $ z = x + 2y $ 并且曲面元素是 $ \sqrt{6} \, dA $。
### 选项 A
曲面积分在 $ yz $-平面上的投影是：
\[ \iint_S f(x, y, z) \, dS = \iint_{D_{yz}} f(z - 2y, y, z) \sqrt{6} \, dydz. \]
这是正确的，因为 $ x = z - 2y $ 并且曲面元素是 $ \sqrt{6} \, dA $。
### 选项 C
曲面积分在 $ zx $-平面上的投影是：
\[ \iint_S f(x, y, z) \, dS = \iint_{D_{zx}} f\left( x, \frac{z - x}{2}, z \right) \sqrt{6} \, dzdx. \]
然而，曲面元素 $ dS $ 在 $ zx $-平面上的投影应该根据 $ y $ 关于 $ z $ 和 $ x $ 的偏导数进行调整：
\[ \frac{\partial y}{\partial z} = \frac{1}{2}, \quad \frac{\partial y}{\partial x} = -\frac{1}{2}. \]
曲面元素 $ dS $ 是：
\[ dS = \sqrt{1 + \left( \frac{\partial y}{\partial z} \right)^2 + \left( \frac{\partial y}{\partial x} \right)^2} \, dA = \sqrt{1 + \left( \frac{1}{2} \right)^2 + \left( -\frac{1}{2} \right)^2} \, dA = \sqrt{1 + \frac{1}{4} + \frac{1}{4}} \, dA = \sqrt{\frac{3}{2}} \, dA. \]
因此，正确的公式是：
\[ \iint_S f(x, y, z) \, dS = \iint_{D_{zx}} f\left( x, \frac{z - x}{2}, z \right) \sqrt{\frac{3}{2}} \, dzdx. \]
这意味着选项 D 是错误的。
### 选项 D
曲面积分在 $ zx $-平面上的投影是：
\[ \iint_S f(x, y, z) \, dS = \iint_{D_{zx}} f\left( x, \frac{z - x}{2}, z \right) \sqrt{6} \, dzdx. \]
这是错误的，因为曲面元素是 $ \sqrt{\frac{3}{2}} \, dA $，而不是 $ \sqrt{6} \, dA $。
因此，错误的公式是：
\[ \boxed{D} \]
解析
本题考查第一类曲面积分转化为重积分的公式。解题的关键在于根据曲面方程求出曲面元素 $dS$，并根据不同投影面正确替换变量。
已知曲面 $S:z = x + 2y$，先求曲面元素 $dS$。
- 对 $z$ 关于 $x$ 和 $y$ 求偏导数：
- 根据求导公式 $(X^n)^\prime=nX^{n - 1}$，$\frac{\partial z}{\partial x}=\frac{\partial (x + 2y)}{\partial x}=1$；
- $\frac{\partial z}{\partial y}=\frac{\partial (x + 2y)}{\partial y}=2$。
- 由曲面元素公式 $dS = \sqrt{1 + (\frac{\partial z}{\partial x})^2 + (\frac{\partial z}{\partial y})^2}dA$，可得：
- $dS=\sqrt{1 + 1^2 + 2^2}dA=\sqrt{6}dA$，其中 $dA$ 是在相应投影面上的面积元素。
选项 B
当曲面积分在 $xOy$ 平面上投影时，投影区域为 $D_{xy}$，此时 $z = x + 2y$，曲面元素为 $\sqrt{6}dA=\sqrt{6}dxdy$，则：
$\iint_{S}f(x,y,z)dS=\iint_{D_{xy}}f(x,y,x + 2y)\sqrt{6}dxdy$，该选项正确。
选项 A
当曲面积分在 $yOz$ 平面上投影时，投影区域为 $D_{yz}$，由 $z = x + 2y$ 可得 $x = z - 2y$，曲面元素为 $\sqrt{6}dA=\sqrt{6}dydz$，则：
$\iint_{S}f(x,y,z)dS=\iint_{D_{yz}}f(z - 2y,y,z)\sqrt{6}dydz$，该选项正确。
选项 C
当曲面积分在 $zOx$ 平面上投影时，投影区域为 $D_{zx}$，由 $z = x + 2y$ 可得 $y=\frac{z - x}{2}$。
- 对 $y$ 关于 $z$ 和 $x$ 求偏导数：
- $\frac{\partial y}{\partial z}=\frac{\partial (\frac{z - x}{2})}{\partial z}=\frac{1}{2}$；
- $\frac{\partial y}{\partial x}=\frac{\partial (\frac{z - x}{2})}{\partial x}=-\frac{1}{2}$。
- 再根据曲面元素公式 $dS = \sqrt{1 + (\frac{\partial y}{\partial z})^2 + (\frac{\partial y}{\partial x})^2}dA$，可得：
- $dS=\sqrt{1 + (\frac{1}{2})^2 + (-\frac{1}{2})^2}dA=\sqrt{1+\frac{1}{4}+\frac{1}{4}}dA=\sqrt{\frac{3}{2}}dA=\sqrt{\frac{3}{2}}dzdx$。
则 $\iint_{S}f(x,y,z)dS=\iint_{D_{zx}}f(x,\frac{z - x}{2},z)\sqrt{\frac{3}{2}}dzdx$，该选项正确。
- $dS=\sqrt{1 + (\frac{1}{2})^2 + (-\frac{1}{2})^2}dA=\sqrt{1+\frac{1}{4}+\frac{1}{4}}dA=\sqrt{\frac{3}{2}}dA=\sqrt{\frac{3}{2}}dzdx$。
选项 D
由选项 C 的分析可知，在 $zOx$ 平面上投影时，曲面元素为 $\sqrt{\frac{3}{2}}dzdx$，而该选项中曲面元素为 $\sqrt{6}dzdx$，所以：
$\iint_{S}f(x,y,z)dS=\iint_{D_{zx}}f(x,\frac{z - x}{2},z)\sqrt{6}dzdx$ 是错误的。