习题66.1选择题(1)一平面简谐波在弹性媒质中传播,在媒质质元从平衡位置运动到最大位移处的过程中:(A)它的动能转化为势能.(B)它的势能转化为动能.(C)它从相邻的一段质元获得能量其能量逐渐增大.(D)它把自己的能量传给相邻的一段质元,其能量逐渐减小.[答案:D](2) 某时刻驻波波形曲线如图所示,则a,b两点位相差是(A)π (B)π/2(C)5π/4 (D)0[答案:A](3) 设声波在媒质中的传播速度为u,声源的频率为v.若声源S不动,而接收器R相对于媒质以速度V 沿着S、R连线向着声源S运动,则位于S、R连线中点的质点P的振动频率为(A) (B) (C) (D) [答案:A]6.2填空题(1)频率为100Hz,传播速度为300m/s的平面简谐波,波线上两点振动的相位差为π/3,则此两点相距____m。[答案:](2)一横波的波动方程是,则振幅是____,波长是____,频率是____,波的传播速度是____。[答案:](3) 设入射波的表达式为,波在x=0处反射,反射点为一固定端,则反射波的表达式为________________,驻波的表达式为____________________,入射波和反射波合成的驻波的波腹所在处的坐标为____________________。[答案: ;]6.3产生机械波的条件是什么?两列波叠加产生干涉现象必须满足什么条件?满足什么条件的两列波才能叠加后形成驻波?在什么情况下会出现半波损失?答:产生机械波必须具备两个条件:有作机械振动的物体即波源;有连续的介质。两列波叠加产生干涉现象必须满足三个相干条件:频率相同,振动方向相同,在相遇点的位相差恒定。两列波叠加后形成驻波的条件除频率相同、振动方向相同、在相遇点的位相差恒定三个相干条件外,还要求两列波振幅相同,在同一直线上沿相反方向传播。出现半波损失的条件是:波从波疏媒质入射并被波密媒质反射,对于机械波,还必须是正入射。6.4波长、波速、周期和频率这四个物理量中,哪些量由传播介质决定?哪些量由波源决定?答:波速由传播介质决定;周期和频率由波源决定。6.5波速和介质质元的振动速度相同吗?它们各表示什么意思?波的能量是以什么速度传播的?答:波速和介质质元的振动速度不相同。波速是振动状态在介质中的传播速度,而质元的振动速度是质元在其平衡位置附近运动的速度。波的能量传播的速度即为波速。6.6振动和波动有什么区别和联系?平面简谐波波动方程和简谐振动方程有什么不同?又有什么联系?振动曲线和波形曲线有什么不同?行波和驻波有何区别?答: (a)振动是指一个孤立的系统(也可是介质中的一个质元)在某固定平衡位置附近所做的往复运动,系统离开平衡位置的位移是时间的周期性函数,即可表示为;波动是振动在连续介质中的传播过程,此时介质中所有质元都在各自的平衡位置附近作振动,因此介质中任一质元离开平衡位置的位移既是坐标位置,又是时间的函数,即.(b)在谐振动方程中只有一个独立的变量时间,它描述的是介质中一个质元偏离平衡位置的位移随时间变化的规律;平面谐波方程中有两个独立变量,即坐标位置和时间,它描述的是介质中所有质元偏离平衡位置的位移随坐标和时间变化的规律.当谐波方程中的坐标位置给定后,即可得到该点的振动方程,而波源持续不断地振动又是产生波动的必要条件之一.(c)振动曲线描述的是一个质点的位移随时间变化的规律,因此,其纵轴为,横轴为;波动曲线描述的是介质中所有质元的位移随位置,随时间变化的规律,其纵轴为,横轴为.每一幅图只能给出某一时刻质元的位移随坐标位置变化的规律,即只能给出某一时刻的波形图,不同时刻的波动曲线就是不同时刻的波形图.(d) 两列频率相同、振动方向相同、在相遇点的位相差恒定、振幅相同、在同一直线上沿相反方向的行波叠加后才会形成驻波。行波伴随有能量的传播,而驻波没有能量的传播。6.7 波源向着观察者运动和观察者向着波源运动都会产生频率增高的多普勒效应,这两种情况有何区别?

解: 波源向着观察者运动时,波面将被挤压,波在介质中的波长,将被压缩变短,(如题6.7图所示),因而观察者在单位时间内接收到的完整数目()会增多,所以接收频率增高;而观察者向着波源运动时,波面形状不变,但观察者测到的波速增大,即,因而单位时间内通过观察者完整波的数目也会增多,即接收频率也将增高.简单地说,前者是通过压缩波面(缩短波长)使频率增高,后者则是观察者的运动使得单位时间内通过的波面数增加而升高频率.

题6.7图 多普勒效应

6.8 已知波源在原点的一列平面简谐波,波动方程为=cos(),其中,, 为正值恒量.求:

(1)波的振幅、波速、频率、周期与波长;

(2)写出传播方向上距离波源为处一点的振动方程;

(3)任一时刻,在波的传播方向上相距为的两点的位相差.

解: (1)已知平面简谐波的波动方程

()

将上式与波动方程的标准形式

比较,可知:

波振幅为,频率,

波长,波速,

波动周期.

(2)将代入波动方程即可得到该点的振动方程

(3)因任一时刻同一波线上两点之间的位相差为

将,及代入上式,即得

.

6.9 沿绳子传播的平面简谐波的波动方程为=0.05cos(10),式中,以米计,以秒计.求:

(1)绳子上各质点振动时的最大速度和最大加速度;

(2)求=0.2m处质点在=1s时的位相,它是原点在哪一时刻的位相?这一位相所代表的运动状态在=1.25s时刻到达哪一点?

解: (1)将题给方程与标准式

相比,得振幅,圆频率,波长,波速.

绳上各点的最大振速,最大加速度分别为

(2) m处的振动比原点落后的时间为

故,时的位相就是原点(),在时的位相,

即 π.

设这一位相所代表的运动状态在s时刻到达点,则

6.10 如题6.10图是沿轴传播的平面余弦波在时刻的波形曲线.(1)若波沿轴正向传播,该时刻,,,各点的振动位相是多少?(2)若波沿轴负向传播,上述各点的振动位相又是多少?

解: (1)波沿轴正向传播,则在时刻,有

题6.10图

对于点:∵,∴

对于点:∵,∴

对于点:∵,∴

对于点:∵,∴

(取负值:表示点位相,应落后于点的位相)

(2)波沿轴负向传播,则在时刻,有

对于点:∵,∴

对于点:∵,∴

对于点:∵,∴

对于点:∵,∴

(此处取正值表示点位相超前于点的位相)

6.11 一列平面余弦波沿轴正向传播,波速为5 m/s,波长为2m,原点处质点的振动曲线如题6.11图所示.

(1)写出波动方程;

(2)作出=0时的波形图及距离波源0.5m处质点的振动曲线.

解: (1)由题6.11(a)图知, m,且时,,∴,

又,则

题6.11图(a)

取 ,

则波动方程为

(2)时的波形如题6.11(b)图

题6.11图(b) 题6.11图(c)

将m代入波动方程,得该点处的振动方程为

如题6.11(c)图所示.

6.12 如题6.12图所示,已知=0时和=0.5s时的波形曲线分别为图中曲线(a)和(b) ,周期T>0.5s,波沿轴正向传播,试根据图中绘出的条件求:

(1)波动方程;

(2)点的振动方程.

解: (1)由题6.12图可知, , ,又,时,,∴,而, ,∴

故波动方程为

(2)将代入上式,即得点振动方程为

题6.12图

6.13 一列机械波沿轴正向传播, =0时的波形如题6.13图所示,已知波速为10 m/s,波长为2m,求:

(1)波动方程;

(2)点的振动方程及振动曲线;

(3)点的坐标;

(4)点回到平衡位置所需的最短时间.

解: 由题6.13图可知,时,,∴,由题知,

,则

∴

(1)波动方程为

题6.13图

(2)由图知,时,,∴(点的位相应落后于点,故取负值)

∴点振动方程为

(3)∵

∴解得

(4)根据(2)的结果可作出旋转矢量图如题6.13图(a),则由点回到平衡位置应经历的位相角

题6.13图(a)

∴所属最短时间为

6.14 如题6.14图所示,有一平面简谐波在空间传播,已知P点的振动方程为= cos().

(1)分别就图中给出的两种坐标写出其波动方程;

(2)写出距点距离为的点的振动方程.

解: (1)如题6.14图(a),则波动方程为

如图(b),则波动方程为

题6.14图

(2) 如题6.14图(a),则点的振动方程为

如题6.14图(b),则点的振动方程为

6.15 已知平面简谐波的波动方程为(SI).

(1)写出=4.2 s时各波峰位置的坐标式,并求此时离原点最近一个波峰的位置,该波峰何时通过原点?

(2)画出=4.2 s时的波形曲线.

解:(1)波峰位置坐标应满足

解得 (…)

所以离原点最近的波峰位置为.

∵ 故知,

∴ ,这就是说该波峰在前通过原点,那么从计时时刻算起,则应是,即该波峰是在时通过原点的.

题6.15图

(2)∵,∴,又处, 时,

又,当时,,则应有

解得 ,故时的波形图如题6.15图所示。

6.16 题6.16图中(a)表示=0时刻的波形图,(b)表示原点(=0)处质元的振动曲线,试求此波的波动方程,并画出=2m处质元的振动曲线.

解: 由题6.16(b)图所示振动曲线可知,,且时,,

故知,再结合题6.16(a)图所示波动曲线可知,该列波沿轴负向传播,

且,若取

题6.16图

则波动方程为

6.17 一平面余弦波,沿直径为14cm的圆柱形管传播,波的强度为18.0×10J/(m·s),频率为300 Hz,波速为300m/s,求波的平均能量密度和最大能量密度.

解: ∵

∴

6.18 如题6.18图所示,和为两相干波源,振幅均为,相距,较位相超前,求:

(1)外侧各点的合振幅和强度;

(2)外侧各点的合振幅和强度

解:(1)在外侧,距离为的点, 传到该点引起的位相差为

(2)在外侧.距离为的点, 传到该点引起的位相差.

6.19 如题6.19图所示,设点发出的平面横波沿方向传播,它在点的振动方程为;点发出的平面横波沿方向传播,它在点的振动方程为,本题中以m计,以s计.设=0.4m,=0.5 m,波速=0.2m/s,求:

(1)两波传到P点时的位相差;

(2)当这两列波的振动方向相同时,处合振动的振幅;

解: (1)

题6.19图

(2)点是相长干涉,且振动方向相同,所以

6.20 一平面简谐波沿轴正向传播,如题6.20图所示.已知振幅为,频率为,_波速为.

(1)若=0时,原点处质元正好由平衡位置向位移正方向运动,写出此波的波动方程;

(2)若从分界面反射的波的振幅与入射波振幅相等,试写出反射波的波动方程,并求轴上 因入射波与反射波干涉而静止的各点的位置.

解: (1)∵时,,∴故波动方程为

m

题6.20图

(2)入射波传到反射面时的振动位相为(即将代入),再考虑到波由波疏入射而在波密界面上反射,存在半波损失,所以反射波在界面处的位相为

若仍以点为原点,则反射波在点处的位相为

,因只考虑以内的位相角,∴反射波在点的位相为,故反射波的波动方程为

此时驻波方程为

故波节位置为

故 (…)

根据题意,只能取,即

6.21 一驻波方程为=0.02cos20cos750 (SI),求:

(1)形成此驻波的两列行波的振幅和波速;

(2)相邻两波节间距离.

解: (1)取驻波方程为

故知

,则,

∴

(2)∵所以相邻两波节间距离

6.22 在弦上传播的横波,它的波动方程为=0.1cos(13+0.0079) (SI)

试写出一个波动方程,使它表示的波能与这列已知的横波叠加形成驻波,并在=0处为波 节.

解: 为使合成驻波在处形成波节,则要反射波在处与入射波有的位相差,故反射波的波动方程为

6.23 两列波在一根很长的细绳上传播,它们的波动方程分别为

=0.06cos()(SI), =0.06cos()(SI).

(1)试证明绳子将作驻波式振动,并求波节、波腹的位置;

(2)波腹处的振幅多大? =1.2m处振幅多大?

解: (1)它们的合成波为

出现了变量的分离,符合驻波方程特征,故绳子在作驻波振动.

令,则,k=0,±1,±2…此即波腹的位置;

令,则,…,此即波节的位置.

(2)波腹处振幅最大,即为m; 处的振幅由下式决定,即

6.24 汽车驶过车站时,车站上的观测者测得汽笛声频率由1200Hz变到了1000 Hz,设空气中声速为330m/s,求汽车的速率.

解: 设汽车的速度为,汽车在驶近车站时,车站收到的频率为

汽车驶离车站时,车站收到的频率为

联立以上两式,得

6.25 两列火车分别以72km/h和54 km/h的速度相向而行,第一 列火车发出一个600 Hz的汽笛声,若声速为340 m/s,求第二列火车上的观测者听见该声音的频率在相遇前和相遇后分别是多少?

解: 鸣笛火车的车速为,接收鸣笛的火车车速为,则两者相遇前收到的频率为

两车相遇之后收到的频率为