题目

一块电阻率为3Omegacdot(cm)的N型硅样品，空穴寿命tau_p=5mu(s)。在其平面形的表面处有稳定的空穴注入，过剩空穴浓度(Delta p)_o=10^13cm^-3。计算从这个表面扩散进入半导体内部的空穴电流密度，以及在离表面多远处过剩空穴浓度等于10^12cm^-3？无电场，体内无产生率，达到稳定分布，均匀样品，连续性方程化简为D_p(partial p)/(partial x^2)-(partial p)/(partial t)=0方程通解为 Delta p(x)=Ae^-(x)/(4p)+Be^(x)/(4p)，L_p=sqrt(D_ptau_p)边界条件：x=0 Delta p(x=0)=(Delta p)_o x=infty Delta p(x=infty)=0J_p(x)=qcdotDelta p(x)=q(-D_p(dDelta p(x))/(dx))=+qcdot D_p(Delta p)_ocdot e^-(x)/(4p)cdot(1+(1)/(4p))=(q(Delta p)_o)/((4p))cdot e^-(x)/(4p)

一块电阻率为$3\Omega\cdot\text{cm}$的N型硅样品，空穴寿命$\tau_p=5\mu\text{s}$。在其平面形的表面处有稳定的空穴注入，过剩空穴浓度$(\Delta p)_o=10^{13}cm^{-3}$。计算从这个表面扩散进入半导体内部的空穴电流密度，以及在离表面多远处过剩空穴浓度等于$10^{12}cm^{-3}$？

无电场，体内无产生率，达到稳定分布，均匀样品，连续性方程化简为

$D_p\frac{\partial p}{\partial x^2}-\frac{\partial p}{\partial t}=0$

方程通解为 $\Delta p(x)=Ae^{-\frac{x}{4p}}+Be^{\frac{x}{4p}}$，$L_p=\sqrt{D_p\tau_p}$

边界条件：$x=0$ $\Delta p(x=0)=(\Delta p)_o$ $x=\infty$ $\Delta p(x=\infty)=0$

$J_p(x)=q\cdot\Delta p(x)=q\left(-D_p\frac{d\Delta p(x)}{dx}\right)=+q\cdot D_p\left(\Delta p\right)_o\cdot e^{-\frac{x}{4p}}\cdot\left(1+\frac{1}{4p}\right)=\frac{q\left(\Delta p\right)_o}{(4p)}\cdot e^{-\frac{x}{4p}}$

题目解答

答案

1. 根据 $\rho = 3 \, \Omega \cdot \text{cm}$，得 $n_0 \approx 1.54 \times 10^{15} \, \text{cm}^{-3}$，$p_0 \approx 1.46 \times 10^5 \, \text{cm}^{-3}$。 2. 空穴扩散系数 $D_p = 12.48 \, \text{cm}^2/\text{s}$，扩散长度 $L_p = 7.9 \times 10^{-3} \, \text{cm}$。 3. 表面处空穴电流密度： \[ J_p(0) = q D_p \frac{(\Delta p)_0}{L_p} = 1.6 \times 10^{-19} \times 12.48 \times \frac{10^{13}}{7.9 \times 10^{-3}} \approx 2.53 \times 10^{-3} \, \text{A/cm}^2 \] 4. 当 $(\Delta p)(x) = 10^{12} \, \text{cm}^{-3}$ 时： \[ x = L_p \ln\left(\frac{(\Delta p)_0}{(\Delta p)(x)}\right) = 7.9 \times 10^{-3} \times \ln(10) \approx 1.82 \times 10^{-2} \, \text{cm} = 182 \, \mu\text{m} \] 答案： 1. $J_p(0) \approx 2.53 \times 10^{-3} \, \text{A/cm}^2$。 2. $x \approx 182 \, \mu\text{m}$。

解析

本题主要考察半导体物理中载流子扩散的相关知识，解题的关键在于利用给定的电阻率求出多数载流子浓度，再结合空穴寿命计算空穴扩散系数和扩散长度，最后根据扩散电流密度公式和过剩空穴浓度分布公式求解相应问题。

  1. 计算多数载流子浓度：
    • 对于N型硅样品，电阻率$\rho$与多数载流子（电子）浓度$n_0$的关系为$\rho=\frac{1}{q\mu_n n_0}$，其中$q = 1.6\times10^{-19}C$为电子电荷量，$\mu_n$为电子迁移率。在室温下，N型硅的电子迁移率$\mu_n\approx1350cm^2/(V\cdot s)$。
    • 已知$\rho = 3\Omega\cdot cm$，将其代入公式可得$n_0=\frac{1}{q\mu_n\rho}=\frac{1}{1.6\times10^{-19}\times1350\times3}\approx1.54\times10^{15}cm^{-3}$。
    • 根据本征载流子浓度$n_i$在室温下约为$1.5\times10^{10}cm^{-3}$，以及$n_0p_0 = n_i^2$，可得少数载流子（空穴）浓度$p_0=\frac{n_i^2}{n_0}=\frac{(1.5\times10^{10})^2}{1.54\times10^{15}}\approx1.46\times10^5cm^{-3}$。
  2. 计算空穴扩散系数和扩散长度：
    • 根据爱因斯坦关系$\frac{D_p}{\mu_p}=\frac{kT}{q}$，在室温$T = 300K$时，$kT/q\approx0.026V$。对于硅，空穴迁移率$\mu_p\approx450cm^2/(V\cdot s)$，则空穴扩散系数$D_p=\mu_p\times\frac{kT}{q}=450\times0.026 = 12.48cm^2/s$。
    • 已知空穴寿命$\tau_p = 5\mu s = 5\times10^{-6}s$，扩散长度$L_p=\sqrt{D_p\tau_p}=\sqrt{12.48\times5\times10^{-6}}\approx7.9\times10^{-3}cm$。
  3. 计算表面处空穴电流密度：
    • 空穴扩散电流密度公式为$J_p(x)=qD_p\frac{d\Delta p(x)}{dx}$，在稳定状态下，过剩空穴浓度分布为$\Delta p(x)=(\Delta p)_0e^{-\frac{x}{L_p}}$，对其求导得$\frac{d\Delta p(x)}{dx}=-\frac{(\Delta p)_0}{L_p}e^{-\frac{x}{L_p}}$。
    • 当$x = 0$时，$J_p(0)=qD_p\frac{(\Delta p)_0}{L_p}$，将$q = 1.6\times10^{-19}C$，$D_p = 12.48cm^2/s$，$(\Delta p)_0 = 10^{13}cm^{-3}$，$L_p = 7.9\times10^{-3}cm$代入可得：
      $J_p(0)=1.6\times10^{-19}\times12.48\times\frac{10^{13}}{7.9\times10^{-3}}\approx2.53\times10^{-3}A/cm^2$
  4. 计算过剩空穴浓度为$10^{12}cm^{-3}$时离表面的距离：
    • 由过剩空穴浓度分布$\Delta p(x)=(\Delta p)_0e^{-\frac{x}{L_p}}$，可得$e^{-\frac{x}{L_p}}=\frac{\Delta p(x)}{(\Delta p)_0}$。
    • 两边取自然对数得$-\frac{x}{L_p}=\ln(\frac{\Delta p(x)}{(\Delta p)_0})$，则$x = L_p\ln(\frac{(\Delta p)_0}{\Delta p(x)})$。
    • 将$L_p = 7.9\times10^{-3}cm$，$(\Delta p)_0 = 10^{13}cm^{-3}$，$\Delta p(x)=10^{12}cm^{-3}$代入可得：
      $x = 7.9\times10^{-3}\times\ln(10)\approx1.82\times10^{-2}cm = 182\mu m$