17.如图所示,一半径为R的均匀带正电圆环,其电荷线密度为。在其轴线上有A、B两点,它们与环-|||-心的距离分别为 overline (OA)=sqrt (3)R .overline (OB)=sqrt (8)R 。一质量为m、电荷为q的粒子从A点运动到B点。-|||-(1)设无穷远处电势为零,求A、B两点的电势;-|||-(2)求在此过程中电场力对电荷为q的粒子所做的功。-|||-R λ-|||-A B-|||-√3R-|||-√8R-|||-[答案](1) dfrac (2pi Rlambda )(4pi {varepsilon )_(0)sqrt ({R)^2+(x)^2}}-|||-;(2) dfrac (q)(12{e)_(a)}

本题考查均匀带电圆环轴线上电势的计算以及电场力做功的求解。

1. 核心思路：
   • 电势公式：均匀带电圆环在轴线上某点的电势公式为 $\varphi = \dfrac{\lambda \cdot 2\pi R}{4\pi \varepsilon_0 \sqrt{R^2 + x^2}}$，其中 $x$ 是该点到环心的距离。
   • 电场力做功：电场力做功等于电势能的减少量，即 $W = q(\varphi_A - \varphi_B)$。
2. 破题关键：
   • 正确代入公式计算A、B两点的电势。
   • 注意单位统一，直接代入数值计算即可。

第（1）题：求A、B两点的电势

电势公式代入

均匀带电圆环轴线上某点的电势公式为：
$\varphi = \dfrac{\lambda \cdot 2\pi R}{4\pi \varepsilon_0 \sqrt{R^2 + x^2}} = \dfrac{\lambda R}{2\varepsilon_0 \sqrt{R^2 + x^2}}$

计算A点电势

A点距离环心 $x = \sqrt{3}R$，代入公式：
$\varphi_A = \dfrac{\lambda R}{2\varepsilon_0 \sqrt{R^2 + (\sqrt{3}R)^2}} = \dfrac{\lambda R}{2\varepsilon_0 \cdot 2R} = \dfrac{\lambda}{4\varepsilon_0}$

计算B点电势

B点距离环心 $x = \sqrt{8}R$，代入公式：
$\varphi_B = \dfrac{\lambda R}{2\varepsilon_0 \sqrt{R^2 + (\sqrt{8}R)^2}} = \dfrac{\lambda R}{2\varepsilon_0 \cdot 3R} = \dfrac{\lambda}{6\varepsilon_0}$

第（2）题：求电场力做功

电场力做功公式

电场力做功为电势能的改变量：
$W = q(\varphi_A - \varphi_B)$

代入电势差

$W = q \left( \dfrac{\lambda}{4\varepsilon_0} - \dfrac{\lambda}{6\varepsilon_0} \right) = q \cdot \dfrac{\lambda}{12\varepsilon_0}$