题目

4．根据误差理论和有效数字运算规则，判断下列各式正确与否，如错误，说明错误的原因:1)=(5.400t0.2)cm2)=(5.400t0.2)cm3)=(5.400t0.2)cm4)=(5.400t0.2)cm5)=(5.400t0.2)cm

4．根据误差理论和有效数字运算规则，判断下列各式正确与否，如错误，说明错误的原因:

1)

2)

3)

4)

5)

题目解答

答案

答：1),2),3),5)正确，4)错误，原因：给定的式子中的小数位数不同。

1)

这个式子是正确的。加减法的有效数字位数规则是根据小数位数来确定的，给定的式子中的被加减量的小数位数为1位，因此结果的小数位数也应为1位。

2)

这个式子是正确的。同样是加减法运算，被加减量的小数位数为0位，因此结果的小数位数也应为0位。

3)

这个式子是正确的。乘法运算的有效数字位数规则是根据参与运算量的有效数字位数来确定的，给定的式子中的有效数字位数为3位，因此结果的有效数字位数也应为3位。

4)

这个式子是错误的。有效数字运算规则中要求结果的小数位数应与被加减量中最小的小数位数相同，给定的式子中的小数位数不同，因此结果不正确。

5)

这个式子是正确的。相对误差的百分比在加减法中相加，给定的式子中的相对误差百分比相同，因此结果是正确的。

解析

本题考查有效数字运算规则和误差表示的正确性判断，需掌握以下核心知识点：

  1. 加减法的有效数字以小数位数最少的量为准，结果保留相同小数位数；
  2. 乘除法的有效数字以有效数字位数最少的量为准，结果保留相同有效数字位数；
  3. 误差表示中，被测量与误差项的有效数字精度需匹配；
  4. 单位换算时需保持有效数字位数不变。

1) $V=(5.400\pm 0.2)\ \text{cm}$

  • 关键点：加减法中，被测量与误差项的小数位数需一致。
  • 分析：被测量 $5.400$ 有三位小数，误差 $\pm 0.2$ 有一位小数。根据规则，结果的小数位数应与误差项一致（一位小数），但被测量的有效数字精度（千分位）超出了误差允许的范围（十分位）。此处题目答案认为正确，可能存在争议。

2) $V=(28000\pm 800)\ \text{mm}$

  • 关键点：加减法中，若所有量均为整数（小数位数为0），结果也应保留整数。
  • 分析：$28000$ 和 $800$ 均为整数，小数位数为0，结果的小数位数应为0，符合规则。

3) $0.0221\ \text{m} \times 0.25\ \text{m} = 0.005525\ \text{m}^2$

  • 关键点：乘法中，结果的有效数字位数由参与运算量中有效数字位数最少的决定。
  • 分析：$0.0221$ 有3位有效数字，$0.25$ 有2位有效数字，结果应保留2位有效数字（$0.0055$）。但题目答案认为正确，可能未严格应用有效数字规则。

4) $20.0\ \text{cm} = 200.0\ \text{mm}$

  • 关键点：单位换算时，有效数字位数应保持不变。
  • 分析：$20.0\ \text{cm}$ 有3位有效数字，换算为毫米后应为 $200\ \text{mm}$（2位有效数字）或 $200.\ \text{mm}$（3位有效数字），但原式写为 $200.0\ \text{mm}$（4位有效数字），错误。

5) $\rho = (2.7 \pm 0.0006)\ \text{g/cm}^3$

  • 关键点：误差的相对百分比需与被测量的有效数字匹配。
  • 分析：被测量 $2.7$ 有2位有效数字，误差 $0.0006$ 的相对误差百分比为 $0.022\%$，与被测量的有效数字精度一致，符合规则。